¿Por qué el tensor de tensiones (no relativista) es lineal y simétrico?

Question

Desde Wikipedia :

"[...] el vector de tensión $T$ a través de una superficie será siempre una función lineal del vector normal de la superficie $n$ el vector de longitud unitaria que es perpendicular a él. [...] La relación lineal entre $T$ y $n$ se desprende de las leyes fundamentales de la conservación del momento lineal y del equilibrio estático de las fuerzas, por lo que es matemáticamente exacta, para cualquier material y cualquier situación de tensión. Las componentes del tensor de tensiones de Cauchy en cada punto de un material satisfacen las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones de movimiento de Cauchy para una aceleración nula). Además, el principio de conservación del momento angular implica que el tensor de tensiones es simétrico".

¿Cuál es la explicación más detallada de esto, y/o dónde puedo encontrarla?

Answer 1

Esta es otra manera de pensar en ello. Nos ayudará hacer una analogía con la ecuación de continuidad del flujo de fluidos. Supongamos que tenemos un fluido que fluye con una velocidad no uniforme $\vec{u}(\vec{r})$ . Considere la región $\Omega$ del fluido delimitado por una superficie $S$ y supongamos que se nos dice que la masa total en la región $\Omega$ es constante, y además la densidad de masa $\rho(\vec{r})$ en cada punto de $\Omega$ es constante. ¿Qué se puede concluir de esto? Bueno, sabes que hay una corriente de masa en el fluido dada por $\vec{J}=\rho \vec{u}$ y como cada pieza de masa se mueve continuamente, el cambio de densidad en un punto es igual a la cantidad de masa que fluye hacia ese punto. Esto se expresa matemáticamente mediante la "ecuación de continuidad" $\dot{\rho} = -\nabla \cdot \vec{J}$ . Integrando esto en todo el volumen, encontramos $\dot{M} = \int_\Omega \dot{\rho} = \int_\Omega - \nabla \cdot \vec{J} = - \oint_S \vec{J} \cdot \hat{n}\, dA$ . En el extremo derecho, el término $\vec{J} \cdot \hat{n}$ representa el flujo de masa a través de la superficie.

De hecho, el tensor de tensiones no es mucho más difícil de entender que esto. Tienes dos preguntas: ¿Por qué la fuerza sobre una superficie es lineal en $\hat{n}$ ? y ¿Por qué es $\sigma$ ¿simétrico? Responderé a estas preguntas de una en una. Ambas respuestas se harán por analogía con el flujo de fluidos.

¿Por qué la fuerza sobre una superficie es lineal en $\hat{n}$ ?

Supongamos que tenemos un gran trozo de material, y se nos dice que la densidad de momento, que denotaré $\vec{p}$ y la densidad del momento angular, que denotaré $\vec{\ell}$ es constante en alguna región $\Omega$ con límite $S$ . Escojamos un sistema de coordenadas y elijamos un componente del momento para mirarlo, digamos el $i$ de los componentes, $p_i$ . Entonces $p_i$ es análogo a $\rho$ . Como cada trocito de material sólo ejerce fuerzas sobre sus vecinos (no hay fuerzas de largo alcance), el $p_i$ debe moverse continuamente a través del material. Así, el flujo de $p_i$ es descrito por alguna corriente $\sigma_{ij}$ que es análogo a $-J_j$ (observe que hay una convención de signos). Identificación de $\dot{p}_i$ con $f_i$ la fuerza por unidad de volumen, la ecuación de continuidad nos da $f_i = \partial_j \sigma_{ij}$ (recordando la convención de signos). Integrando sobre la región $\Omega$ con $P_i$ ser $i$ de la componente del momento total, encontramos $\dot{P}_i = \int_\Omega \dot{p}_i = \int_\Omega \partial_j \sigma_{ij} = \oint_S \sigma_{ij} n_j \, dA$ . Así, el término $\sigma_{ij} n_j$ tiene la interpretación de flujo de momento a través de la superficie, o en otras palabras, la fuerza por unidad de área en la superficie. Por tanto, la respuesta a la primera parte de tu pregunta es que la fuerza por unidad de superficie es lineal en $\hat{n}$ por la misma razón que el flujo de masa a través de un área es lineal en $\hat{n}$ y esta razón es que hay una corriente que describe cómo la masa (o el momento) se mueve a través del medio, y el flujo es sólo la corriente punteada en $\hat{n}$ .

¿Por qué es $\sigma$ ¿simétrico?

Ahora vamos a abordar la segunda parte de su pregunta, ¿por qué debe $\sigma_{ij}$ ser simétrico si el objeto está en equilibrio. Consideremos ahora el $i$ componente de la densidad del momento angular $\ell_i$ . Sabemos que un agente externo que ejerce una fuerza por unidad de superficie $\vec{f}$ en un punto $\vec{r}$ en la superficie está ejerciendo un par de torsión cuyo $i$ es dada por $\tau_i = \epsilon_{ijk} r_j f_k$ . Sin embargo, sabemos por el párrafo anterior que $f_k = \sigma_{kh} n_h$ . Por lo tanto, concluimos que $\tau_i$ que es el flujo de $\ell_i$ viene dada por $\epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh} n_h$ . Sabemos que esto debería ser una corriente punteada en $\hat{n}$ Así pues, el $\ell_i$ la corriente debe ser $\epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh}$ . El cambio en $\ell_i$ por unidad de volumen, que es $i$ componente del par por unidad de volumen $\tau_i$ es la divergencia de esta corriente: $\dot{\ell}_i = \partial_h \epsilon_{ijk}r_j \sigma_{kh} = \epsilon_{ijk} (\partial_h r_j) \sigma_{kh} + \epsilon_{ijk}r_j (\partial_h \sigma_{kh}) = \epsilon_{ijk} \delta_{hj} \sigma_{kh} + \epsilon_{ijk}r_j f_k = \epsilon_{ijk} \sigma_{kj} + \epsilon_{ijk}r_j f_k.$

El segundo término es $\vec{r} \times \vec{f}$ como era de esperar, esto tiene en cuenta el momento angular producido por la traslación uniforme del pequeño trozo de material. El otro término es la parte antisimétrica de $\sigma$ y representa una rotación de la pequeña pieza de material alrededor de su centro de masa. Para demostrar que $\sigma$ debe ser simétrica en un punto arbitrario $\vec{r}$ primero movemos el origen a $\vec{r}$ y luego encontrar la expresión para $\dot{\ell}_i$ que debe ser zreo ya que el objeto está en equillibrio. Encontramos $0 = \dot{\ell}_i = \epsilon_{ijk} \sigma_{kj}$ donde el $\vec{r} \times \vec{f}$ El término se eliminó porque $\vec{r}$ es cero. Así, encontramos que la parte antisimétrica de $\sigma$ debe ser 0.

Answer 2

En cuanto a la simetría: si el tensor de tensiones no fuera simétrico, habría un par neto sobre el objeto y éste giraría. Para una explicación, véase la imagen de abajo. Los componentes $\sigma_{ij}$ representan las fuerzas de corte en el $i$ de la cara en el $j$ la dirección:

Dado que el tensor de tensiones describe objetos en equilibrio, el objeto no gira (es decir, el par neto es cero - esto es la "parte de conservación del momento angular") por lo que $\sigma_{ij}=\sigma_{ji}$ .

Answer 3

Una cosa importante que hay que recordar es que se supone que no hay ninguna fuerza que actúe sobre la masa del objeto que sea capaz de ejercer un par neto (es decir, intercambiar el momento angular).

Esta idea cambia cuando se piensa en algo como la interacción entre la materia y el campo electromagnético. Aunque se puede adaptar la imagen anterior para mostrar que el tensor de tensiones completo de todo el sistema debe ser simétrico, no es necesario que el tensor de tensiones de su parte sea también simétrico.