Evalúe el% integral% #%

Question

Integral relacionada con la función zeta en el % de punto $2$está dada por

$$\zeta(2) = \int\nolimits_0^\infty \dfrac{t}{e^t - 1}\mathrm dt$$

¿Cómo calcular esta integral?

Answer 1

Algo equivalente a la respuesta de Gerry: que $t=-\log(1-u)$, dando el integral

$$-\int_0^1 \frac{\log(1-u)}{u}\mathrm du$$

Ampliar el logaritmo como una serie, suma de intercambio e integración, y entonces podrá ver algo familiar...

Answer 2

El integrando se puede expresar como una serie geométrica con primer término $te^{-t}$ y % de relación común $e^{-t}$. Integrar término por término (después de justificar, por supuesto) y ver si no reconoce el resultado como $\zeta(2)$.