distribución normal multivariante

Question

Dado que la distribución de la diferencia de dos normalmente distribuidas variables X e y con las medias y varianzas $(\mu_x,\sigma_x^2)$$(\mu_y,\sigma_y^2)$, respectivamente, es dada por otra distribución normal con media de $\mu_x-\mu_y$ y la varianza $\sigma_x^2+\sigma_y^2$ http://mathworld.wolfram.com/NormalDifferenceDistribution.html.

Suponiendo que las distribuciones son independientes, podemos encontrar una distribución de una diferencia de dos multivariante se distribuye normalmente varia?

Answer 1

Si dos multivariante aleatoria normal de las variables de $X\sim\mathcal N(\mu_X,\Sigma_X)$ $Y\sim\mathcal N(\mu_Y,\Sigma_Y)$ son independientes (y de la misma dimensión), entonces su suma es todavía normal, y puede sumar la media y la varianza directamente: $$X+Y\sim\mathcal N(\mu_X+\mu_Y,\Sigma_X+\Sigma_Y).$$

La forma más sencilla de ver esto es con la expresión de la función característica, como puede encontrarse en el artículo de la Wikipedia por ejemplo: $$\phi_X(u)=\exp(iu'\mu_X-u'\Sigma_Xu).$$

Dado que la función característica de la suma de dos variables aleatorias independientes es el producto de sus respectivas funciones características, entonces \begin{eqnarray} \phi_{X+Y}(u) &=& \exp(iu'\mu_X-u'\Sigma_Xu)\exp(iu'\mu_Y-u'\Sigma_Yu)\\ &=& \exp(iu'\mu_X-u'\Sigma_Xu+iu'\mu_Y-u'\Sigma_Yu)\\ &=& \exp(iu'(\mu_X+\mu_Y)-u'(\Sigma_X+\Sigma_Y)u). \end{eqnarray}

Ahora, volviendo a tu pregunta original, basta ver que $-Y$ tiene la misma varianza como $Y$, pero con la frente significa para concluir: $$-Y\sim \mathcal N(-\mu_Y,\Sigma_Y),$$ así que, de hecho, $$X-Y\sim\mathcal N(\mu_X-\mu_Y,\Sigma_X+\Sigma_Y).$$