en el límite de funciones analíticas

Question

Supongamos que tengo una función $f$ que es analítica en la unidad de disco $D = \{ z \in \mathbb{C} : |z| < 1 \}$ que también es continua en a $\bar{D}$. Si $f$ es idéntica a cero en algún segmento de la frontera (por ejemplo,$\{ e^{it}, 0 \leq t \leq \pi/2 \}$ ), entonces es cierto que $f$ es idéntica a cero en el límite completo?

Sé que funciones analíticas que son cero en un punto de acumulación en el interior del dominio de analiticidad son idénticamente cero en todo el dominio, pero no sé qué (si algo) se puede decir si algo similar se produce en la frontera del dominio.

Answer 1

La única forma en que la función puede ser cero en un arco del círculo es la de la función a ser idéntica a cero. Para ver esto, considere la posibilidad de ${\displaystyle g(z) = \prod_{j = 0}^{n-1} f(e^{2\pi i j \over n}z)}$ para una lo suficientemente grande como $n$, de modo que $g(z)$ es idéntica a cero en el límite de la disco. Entonces la integral de Cauchy fórmula, si $r < 1$, entonces para cualquier $w$ en el interior que uno tiene $$g(w) = {1 \over 2\pi i}\int_{|z| = r}{g(z) \over z - w}\,dz$$ Desde $g(z)$ es continua en el conjunto compacto $\bar{D}$, $g(z)$ es acotado, por lo que podemos aplicar el teorema de convergencia dominada y deje $r$$1$. Se obtiene $$g(w) = {1 \over 2\pi i}\int_{|z| = 1}{g(z) \over z - w}\,dz$$ $$ = 0$$ Por lo tanto $g(z)$ es idéntica a cero. Desde los ceros de un valor distinto de cero de la analítica de la función son aislados, llegamos a la conclusión de que $f(z)$ es idéntica a cero también.

Answer 2

Deje $E$ ser un subconjunto cerrado de la frontera del disco. Entonces no es un cero de la función $f$ continua en el disco cerrado y analítica en el disco abierto tal que $f\vert_E=0$ si y sólo si la medida de Lebesgue de $E$ es cero.

El hecho de que la medida de Lebesgue tiene que ser cero (lo que responde a su pregunta) se sigue de un teorema más general que si $f$ es en cualquiera de los espacios de Hardy de la disco, el registro del valor absoluto de la función límite de $f$ $L^1$ de la circunferencia con medida de Lebesgue. Este es el Teorema de 17.17 de Rudin del Real y el análisis complejo, 3ª Edición.

El hecho de que cada subconjunto cerrado de la frontera con la medida de Lebesgue cero puede estar compuesto de ceros de un cero de la función que es continua en el disco cerrado y analítica en el interior es un teorema de Fatou. Esto aparece en la sección "Teoremas de Fatou y Rudin" en el Capítulo 6 de Hoffman espacios de Banach de funciones analíticas.

Véase también Myke la pregunta relacionada con la.