Probando una fórmula sobre Coeficientes binomiales

Question

He encontrado la siguiente fórmula en un libro sin alguna prueba:

%#% $ de #% donde $$\sum_{j=k}^{\lfloor\frac n2\rfloor}{\binom{n}{2j}}{\binom{j}{k}}=\frac{n}{n-k}\cdot2^{n-2k-1}{\binom{n-k}{k}}$ es un número natural y $n$ es un entero que satisface $k$.

He tratado de demostrarlo, pero que estoy enfrentando dificultades. ¿Podría mostrarme cómo demostrar esto?

Answer 1

Sólo he sido capaz de demostrar esta relación de expresión.

Voy a utilizar las siguientes :

$$\cos{n\theta}=n\sum_{l=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\{(-1)^l\cdot2^{n-2l-1}\cdot\frac{\binom{n-l}{l}}{n-l}\cos^{n-2l}{\theta}\}\ \ \ \cdots(\star),$$ $$\sin{n\theta}=\sum_{l=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\{(-1)^l\cdot2^{n-2l-1}\cdot\binom{n-l-1}{l}\cos^{n-2l-1}{\theta}\sin\theta\}\ \ \ \cdots(\star\star).$$

(Se puede obtener a $(\star)$ por inducción sobre $n$. También, podemos obtener $(\star\star)$, diferenciando $(\star)$.)

Prueba : Comparación de ambos lados de la $$\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}=(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}\cos^{n-k}\theta(i\sin)^k,$$ tenemos $$\cos{n\theta}=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}{\theta}(\cos^2\theta-1)^k=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\binom{n}{2k}\cos^{n-2k}{\theta}\cdot\sum_{l=0}^{k}\{\binom{k}{l}\cos^{2(k-l)}{\theta}\cdot(-1)^l\}=\sum_{k=0}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\sum_{l=0}^{k}\{(-1)^l\cdot\binom{n}{2k}\cdot\binom{k}{l}\cdot\cos^{n-2l}{\theta}\}.$$ Por lo tanto, sabemos que el coeficiente de $\cos^{n-2l}\theta$ es $$\sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}(-1)^l\cdot\binom{n}{2k}\cdot\binom{k}{l}.$$

Por otro lado, $(\star)$ nos dice que el coeficiente de $\cos^{n-2l}\theta$ es $$n\cdot(-1)^l\cdot2^{n-2l-1}\cdot\frac{\binom{n-l}{l}}{n-l}.$$

Por lo tanto, obtenemos $$\sum_{k=l}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\binom{n}{2k}\cdot\binom{k}{l}=n\cdot2^{n-2l-1}\cdot\frac{\binom{n-l}{l}}{n-l}$$ como se desee. Ahora la prueba se ha completado.

P. S. Por el mismo argumento acerca de la $\sin{n\theta}$, podemos obtener $$\sum_{j=k}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor}\binom{n}{2j+1}\cdot\binom{j}{k}=2^{n-2k-1}\binom{n-k-1}{k}$$ para $n\ge 2k+1$.

Answer 2

Vamos a utilizar la inducción para probar la identidad (equivalente a la dada) que

1) $\displaystyle\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j}\binom{j}{k}=2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1}\bigg]$ $\;\;$para $0\le k\le\frac{n}{2}$ y la identidad

2) $\displaystyle\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j+1}\binom{j}{k}=2^{n-2k-1}\binom{n-k-1}{k}$ $\;\;$para $0\le k\le\frac{n-1}{2}$.

Si $n=1$, $k=0$ y a ambos lados de ambas identidades son 1;

así que se supone que ambas identidades son válidos para algunos $n\in\mathbb{N}$.

1) $\displaystyle\sum_{j\ge0}\binom{n+1}{2j}\binom{j}{k}=\sum_{j\ge0}\bigg[\binom{n}{2j}+\binom{n}{2j-1}\bigg]\binom{j}{k}=\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j}\binom{j}{k}+\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j-1}\binom{j}{k}$ $\;\;\;\displaystyle=\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j}\binom{j}{k}+\sum_{l\ge0}\binom{n}{2l+1}\binom{l+1}{k}$

$\;\;\;\displaystyle=\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j}\binom{j}{k}+\sum_{l\ge0}\binom{n}{2l+1}\bigg[\binom{l}{k}+\binom{l}{k-1}\bigg]$

$\;\;\;\displaystyle=\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j}\binom{j}{k}+\sum_{l\ge0}\binom{n}{2l+1}\binom{l}{k}+\sum_{l\ge0}\binom{n}{2l+1}\binom{l}{k-1}$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1}\bigg]+2^{n-2k-1}\binom{n-k-1}{k}+2^{n-2k+1}\binom{n-k}{k-1}$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1}+\binom{n-k-1}{k}+4\binom{n-k}{k-1}\bigg]$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k+1}{k}+\binom{n-k}{k}+\binom{n-k}{k-1}+2\binom{n-k}{k-1}\bigg]$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k-1}\bigg[2\binom{n-k+1}{k}+2\binom{n-k}{k-1}\bigg]=2^{n-2k}\bigg[\binom{n-k+1}{k}+\binom{n-k}{k-1}\bigg]$,

$\;\;\;\;$ así, la identidad 1) tiene por $n+1$.

2) $\displaystyle\sum_{j\ge0}\binom{n+1}{2j+1}\binom{j}{k}=\sum_{j\ge0}\bigg[\binom{n}{2j+1}+\binom{n}{2j}\bigg]\binom{j}{k}=\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j+1}\binom{j}{k}+\sum_{j\ge0}\binom{n}{2j}\binom{j}{k}$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k-1}\binom{n-k-1}{k}+2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k-1}\bigg]$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k}{k}+\binom{n-k-1}{k}+\binom{n-k-1}{k-1}\bigg]=2^{n-2k-1}\bigg[\binom{n-k}{k}+\binom{n-k}{k}\bigg]$

$\;\;\;\displaystyle=2^{n-2k}\binom{n-k}{k}$,

$\;\;\;$así, la identidad 2) tiene por $n+1$.