Es un Homeomorfismo local biyectiva un Homeomorfismo global. ¿Diffeomorphisms?

Question

¿Es un Homeomorfismo local biyectiva un Homeomorfismo global? ¿Diffeomorphisms?

No sé que si verdad esta propiedad, no estoy seguro. Si alguien puede demostrarlo estaría muy agradecido, y si no me agradaría un contraejemplo porque no se me ocurre. Muchas gracias. ¿En el peor, si no es cierto, alguien sabe de una condición suficiente para cumplir con lo que quiero? ¡Muchas gracias!

Answer 1

Aquí está una lista muy detallada de la prueba.

Supongamos que tenemos un mapa continuo $f:X \to Y$ de los espacios topológicos de la que sabemos:

• $f$ es un local homeomorphism, que es para todos los $p \in X$ existen subconjuntos abiertos $U \subseteq X$, $V \subseteq Y$ con $p \in U$ y tales que $$f_{|U}:U \to V$$ es un homeomorphism
• $f$ es bijective, que es que hay una relación inversa mapa de $f^{-1}:Y \to X$

Con el fin de demostrar que el $f$ es un homeomorphism tenemos que demostrar que el $f^{-1}$ es continua.

Por lo tanto, vamos a $U' \subseteq X$ un conjunto abierto y $V' = (f^{-1})^{-1}(U') = f(U')$. Para cada una de las $p \in V'$ vamos $U_p$, $V_p$ como en el anterior (es decir, $f_{|U_p}: U_p \to V_p$ es homeomorphism), entonces $$ V' \cap V_p = f_{|U_p}(V') $$ es abierto porque $f_{|U_p}$ es un homeomorphism (y por lo tanto un abrir mapa). Además $$V'= \cup_{p \in V'} V' \cap V_p$$ es abierto, como la unión de bloques abiertos.

Answer 2

Bueno, un Homeomorfismo local restringido a cualquier conjunto abierto (en un espacio topológico) es un Homeomorfismo (supongo que la imagen tiene que estar abierta así). Por lo que es un mapa continuo, abierto. La única falta es bijectivity, por lo que si entiendo tu pregunta, si tienes un Homeomorfismo local biyectiva entonces es un Homeomorfismo.

Answer 3

Creo que la respuesta es no, tal vez podamos pensar en el resultado que un bijection entre X compacto y y Hausdorff es un homeomorphism; hay una razón por la cual el resultado se expresa como lo que es; si X no es compacto o Y no es Hausdorff, entonces el resultado no siempre se cumple. Creo que este es un contraejemplo:

X=[0,1)$\mathbb R$ ; Y=$S^1$

Entonces f(t):=$e^{i2\pi t}$ es un continuo bijection, y un local diffeomorphism, ya $\frac{de^z}{dz}\neq 0$ , pero no es un mundial diffeo. ya que , por ejemplo, [0,1) no es compacto, y/o , [0,1) tiene 1 pt cutset, sino $S^1$ no.

EDIT: como Theo señalado, el teorema de la función inversa no se aplica aquí, ya que la función en cuestión debe tener un dominio de un subespacio abierto de $\mathbb R^n$ , que no es el caso de [0,1). Específicamente, el local diffeomorphism condición es violado en p=0, que no tiene (subespacio) 'capuchas (barrios) que son homeomórficos (subespacio) 'campanas de $S^1$.

Aún así, algo bueno de aquí es que este es un ejemplo de un continuo bijection que no es un homeomorphism.