Creando una hipérbola con una linterna

Question

Me topé con este problema en un libro de texto y me intrigó. Las cónicas se forman generalmente a través de diferentes cortes que se pueden hacer con la forma de un cono. Sin embargo, ha habido recientes discusiones sobre la creación de formas cónicas a través de apuntar una linterna en una cierta dirección, lo cual es interesante.

Si sostienes una linterna paralela al suelo, el haz sería capaz de crear una forma parabólica en el suelo, que es una de las tres formas cónicas que se pueden hacer con una linterna. De manera similar, si inclinas una linterna apuntándola a la pared, podría crear una forma elíptica. Sin embargo, no estoy seguro de qué se puede hacer para crear una forma hiperbólica con una linterna.

Esta imagen es la referencia para este problema y hace dos preguntas sobre las cuales me pregunto si alguien tiene algún comentario: (a) ¿Por qué el límite de esta área iluminada es una hipérbola? (b) ¿Cómo se puede sostener una linterna para que su haz forme una hipérbola en el suelo?

Answer 1

Esta imagen podría ser un buen complemento para la explicación de Neal, que es acertada. Si imaginas que tu linterna apunta directamente hacia abajo desde la punta del cono, entonces la pared es cualquiera de las áreas coloreadas, dependiendo del ángulo en que la sostengas.

Answer 2

Comienza con la linterna paralela a la pared. Si la inclinas ligeramente lejos de la pared, el haz (cónico) seguirá golpeando la pared y obtendrás una hipérbola. Solo cuando el ángulo de la linterna con la pared sea mayor que el ángulo del cono de luz, la hipérbola desaparecerá en el infinito. (En la práctica, por supuesto, es más bien antes, ya que el aire dispersará la luz.)

Como señaló CiaPan en los comentarios a continuación, el criterio para que sea una parábola es que el corte sea paralelo al lado opuesto del cono de luz. El eje del cono es la dirección de la linterna. Por lo tanto, todavía obtendrás una hipérbola si inclinas la linterna hacia la pared a ángulos bajos.