¿Cómo obtener la forma triangular superior para cualquier mapa linear?

Question

Deje $T:V \to V$ ser lineal. $V$ es un complejo espacio vectorial de dimensión $k$. Entonces existe una base para que la matriz generada por $T$ en virtud de que la base es triangular superior. La prueba es por inducción sobre $k$.

Pero, ¿cómo generar una base. El primer paso es que debido a $v$ es un complejo espacio vectorial, de modo que existe un no-vector cero $v$ tal que $Tv=\lambda v$ algunos $\lambda \in \Bbb F$. Así que, tome $e_1=v$ porque $T(e_1)=\lambda e_1$. Así, en la primera columna de la matriz las filas 2 a la n será igual a cero. Ahora si puedo extender $e_1$ a cualquier base de $v$ que la base no puede ser una base para que la matriz es triangular superior. Entonces, ¿cómo construirla ?

Answer 1

Esencialmente están pidiendo de la descomposición de schur o triangulación de schur. Puedes encontrar desde libros de texto con respecto a la derivación. "Análisis de la matriz" de Rajendra Bhatia tiene una hermosa prueba constructiva de esto. Creo que la "Matriz de análisis" de Carl D Meyer también contiene uno.

Answer 2

Sugerencia: Aplicar la hipótesis de inducción para el cociente de espacio vectorial $V'=V/\text{span}(e_1)$ y la inducida por lineal mapa de $\overline{T}:V'\to V'$.

Usted debe comprobar (a) la dimensión de $V'$ es estrictamente menor que la dimensión de $V$ (b) $\overline{T}:V'\to V'$ es un bien definido lineal mapa y (c) una aplicación de la hipótesis de inducción a $\overline{T}:V'\to V'$ resultados en un triangular superior de la matriz de representación de $T:V\to V$ (usted también debe ser precisa sobre el particular con respecto a la que $T$ es triangular superior).

Espero que esto ayude!