Prueba que la convolución de una distribución templada con un $\varphi\in\scr{S}$ es una función de $C^\infty$

Question

Deje $u\in\mathscr{S}'(\mathbb{R}^n)$ ser una base de distribución, y deje $\varphi\in\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ ser Schwartz clase, entonces consideramos $\varphi*u\in\scr{S}'$ mediante el establecimiento de $$(\varphi*u)(\psi)=u(\tilde{\varphi}*\psi)$$ donde $\tilde{\varphi}(x)=\varphi(-x)$, para todos los $\varphi\in\scr{S}$, y ahora no es demasiado difícil para comprobar que esto es en sí mismo una base de distribución. Sin embargo, yo estoy luchando con la siguiente prueba de que $\varphi*u$ se $C^\infty$.

Deje $\psi\in\scr{S}(\mathbb{R}^n)$, por lo que tenemos que \begin{align} (\varphi*u)(\psi)=u(\tilde{\varphi}*\psi) &= u\left(\int_{\mathbb{R}^n}\tilde{\varphi}(\cdot-y)\psi(y)\,\mathrm{d}y \right) \\ &= u\left(\int_{\mathbb{R}^n}\tau^y(\tilde{\varphi})(\cdot)\psi(y)\,\mathrm{d}y \right) \\ &= \int_{\mathbb{R}^n}u(\tau^y(\tilde{\varphi}))\psi(y)\,\mathrm{d}y \end{align}

y me han dicho que el último paso es justificado por la continuidad de $u$ y el hecho de que las sumas de Riemann convergen en la $\mathscr{S}$ topología, aunque esto no está demostrado.

Tengo la sospecha de que la prueba de esa última declaración será muy largo y tedioso, así que estoy más curioso acerca de las técnicas generales que son necesarias para demostrarlo. Es allí cualquier secuencia específica de los conjuntos de la prueba en $\mathbb{R}^n$ más de lo que podemos integrar convenientemente, de tal manera que tenemos de convergencia w.r.t. $x$? Mi primer ingenuo intento de definir $\Lambda_k=[-k,k]^n\cap\frac{1}{k}\mathbb{Z}^n$ pero yo era incapaz de probar que esto nos daría la necesaria convergencia.

Answer 1

Una conveniente opción de la suma de Riemann en este caso es la siguiente: Vamos a $h>0$ y considerar la suma de Riemann para $(\phi*\psi)(x)$ dada por $$ \etiqueta{1} R_h(x):=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \phi(x-hk)\psi(hk)h^n. $$ Como $h\rightarrow 0$, se encuentra en las $R_h\rightarrow \phi*\psi$ con respecto a la más razonable de las topologías. Tomé esta parametrización de Lema 4.1.3 del clásico 'El Análisis Lineal de Operadores Diferenciales Parciales 1' por Hörmander. Se ve bastante parecido a lo que tenía en mente!

Como por las técnicas que ir a probar la convergencia, debo admitir que la mejor respuesta que se me ocurre es: Los trucos del oficio y la fuerza bruta.

En primer lugar, fija $h>0$, para mostrar que la serie (1) converge en $C_b(\mathbb{R}^n)$, el espacio delimitado funciones continuas con supremum norma, tenga en cuenta que $\lvert\phi(x-hk)\rvert\leqslant \lVert \phi \rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}$, mientras que hay una constante $C>0$ tal que $\psi(hk)\leqslant C(1+ h^2 \lvert k\rvert^2)^{-n}$. Pero, a continuación, \begin{align*} \sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \sup_{x\in\mathbb{R}^x}\lvert \phi(x-hk)\psi(hk)h^n \rvert & \leqslant C\lVert \phi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\sum_{k\in\mathbb{Z}^n} \left(\frac{h}{1+h^2\lvert k \rvert^2}\right)^n \\ & \leqslant C\lVert \phi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\left(h+2\sum_{k=1}^\infty \frac{h}{1+ h^2 k^2 }\right)^n \\ & \leqslant C2^n\lVert \phi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\left(h + \int_{-\infty} ^{\infty}\frac{dt}{1+ t^2 }\right)^n < \infty, \end{align*} lo que asegura la convergencia de (1) en $C_b(\mathbb{R}^n)$. Ahora argumentan que la convergencia también sucede en $\mathscr{S}(\mathbb{R}^n)$ (todavía fija $h>0$).

Siguiente, se argumenta que el $R_h\rightarrow \phi*\psi$$C_b(\mathbb{R}^n)$$h\rightarrow 0$. Vamos $$ C_{k,h}=\{x\in\mathbb{R}^n \, | \, \forall j\in\{1,\ldots,n\}:\lvert x_j - k_j \rvert \leqslant h/2 \} $$ ser el cubo con lado de longitud $h>0$ centrada en $k\in\mathbb{R}^n$. Deje $f^y(x)=f(y-x)$ y deje $f_h=\sum_{k\in\mathbb{Z}^n} f(k) \cdot 1_{C_{k,h}}$. Entonces podemos ver que $$ R_h(x)=\int (\phi^x)_h \psi_h \, dy. $$ Tomando nota de que \begin{align*} R_h(x)-\phi*\psi(x)&=\int (\phi^x)_h \psi_h \, dy - \int \phi^x \psi \, dy\\ &= \int ((\phi^x)_h-\phi^x) \psi_h \, dy + \int \phi^x (\psi_h-\psi) \, dy, \end{align*} tenemos $$ \lVert R_h - \phi*\psi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \leqslant \lVert \phi_h - \phi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \lVert \psi_h\rVert_{L^1(\mathbb{R}^n)} + \lVert \phi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)} \lVert \psi_h - \psi\rVert_{L^1(\mathbb{R}^n)}. $$ Desde $\phi$ es uniformemente continua, $\lVert \phi_h - \phi\rVert_{L^\infty(\mathbb{R}^n)}\rightarrow 0$$h\rightarrow 0$, por lo que permanece para mostrar que $\psi_h\rightarrow \psi$$L^1(\mathbb{R}^n)$. Desde $\psi_h\rightarrow \psi$ pointwise, basta encontrar una que domina la función$m\in L^1(\mathbb{R}^n)$$\lvert\psi_h(x)\rvert\leqslant m(x)$, por ejemplo, $0\leqslant h \leqslant 1$. Considere la posibilidad de $m(x)=\max_{k\in C_{x,1}} \lvert \psi(k)\rvert$. Entonces claramente tenemos $\lvert \psi_h(x) \rvert \leqslant m(x)$ al $0\leqslant h \leqslant 1$. Además, hay una constante $C'>0$ tal que $$ \lvert\psi(x)\rvert \leqslant C'(1+n+\lvert x\rvert^2)^{-n}. $$ por lo tanto, si $k\in C_{x,1}$, luego $$ \lvert\psi(k)\rvert \leqslant C'(1+n+\lvert k\rvert^2)^{-n} \leqslant C'(1+\lvert x\rvert^2)^{-n}, $$ desde $\lvert x- k\rvert^2\leqslant n$. Llegamos a la conclusión de que $$ m(x)=\max_{k\C_{x,1}} \lvert \psi(k)\rvert \leqslant C'(1+\lvert x\rvert^2)^{-n}, $$ y, por tanto,$m\in L^1(\mathbb{R}^n)$.

Por último, finaliza el argumento mostrando que $R_h\rightarrow \phi*\psi$$\mathscr S(\mathbb{R}^n)$.