Cuántos cuadrados de la cuadrícula de $m \times n$

Question

¿Hay una fórmula para evaluar el número de todos los cuadrados en la rejilla de $m \times n$? Bueno, yo soy sólo por curiosidad, he visto la pregunta como esta en algún lugar en la Universidad, para solucionar esto que fueron dividiendo la cuadrícula y líneas de $m - 1$ $n - 1$... No sé qué será lo próximo.

Answer 1

Supongamos que $n\ge m$.

• Número de plazas de tamaño 1: $m\cdot n$
• Número de plazas de tamaño 2: $(m-1)\cdot (n-1)$
• ...
• Número de plazas de tamaño m: $1\cdot (n-m+1)$

Resultado: $$\begin{align} \sum_{k=1}^m k \cdot (n-m+k) & =(n-m)\sum_{k=1}^m k +\sum_{k=1}^m k^2 \\ & = (n-m) m(m+1)/2 + m(m+1)(2m+1)/6 \\ & = \frac{m(m+1) (3n-m+1)}{6}\end {Alinee el} $$

Answer 2

Rectángulos en rectángulo $$\frac{(n^2+n)(m^2+m)}{4}$ $

Rectángulos en Plaza $$\frac{(n^2+n)^2}{4}$ $

Plazas en rectángulo $$m≥ n-1,\frac{(n^2+n)}{2}m-\frac{(n^3-n)}{6}$ $

Plazas Plaza $$\frac{(n^2+n)(2n+1)}{6}$ $