Cómo demostrar a $4\times{_2F_1}(-1/4,3/4;7/4;(2-\sqrt3)/4)-{_2F_1}(3/4,3/4;7/4;(2-\sqrt3)/4)\stackrel?=\frac{3\sqrt[4]{2+\sqrt3}}{\sqrt2}$

Question

Tengo el siguiente conjetura, que es apoyada por los cálculos numéricos, al menos, $10^5$ dígitos decimales: $$4\times{_2F_1}\left(-\frac{1}{4},\frac{3}{4};\frac{7}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)-{_2F_1}\left(\frac{3}{4},\frac{3}{4};\frac{7}{4};\frac{2-\sqrt{3}}{4}\right)\,\stackrel?=\,\frac{3\sqrt[4]{2+\sqrt{3}}}{\sqrt{2}},$$ donde $_2F_1$ denota la función hipergeométrica.

Puedes sugerir alguna idea de cómo demostrarlo?

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El conjetural forma cerrada se obtuvo utilizando WolframAlpha consulta

ToRadicals[RootApproximant[2.94844576626425580599908814238570067699233]]

Answer 1

Esta es la identidad 15.5.12 de DLMF, con $a=-1/4$, $b=3/4$, $c=7/4$ y la forma especial $$ F(b,a,a,x)=(1-x)^{-b}. $$ ¿Es esta la forma que le dieron su identidad?

Answer 2

Editado a petición del moderador equipo

1. Función hipergeométrica de Gauss satisface una transformación lineal fórmula $$ (c-a) _2F_1(a-1,b,c,z)+(2a-c-az+bz){}_2F_1(a,b,c,z)+a(z-1){}_2F_1(a+1,b,c,z)=0.$$ Establecimiento $a=b$ $z$ desaparecen de la 2ª prefactor, y se obtiene $$(c-a) _2F_1(a-1,a,c,z)+(2a-c){}_2F_1(a,a,c,z)+a(z-1){}_2F_1(a+1,a,c,z)=0.\tag{1}$$

2. A veces, también, función hipergeométrica se simplifica a funciones elementales. Por ejemplo, $_2F_1(\alpha,\beta,\alpha,z)=(1-z)^{-\beta}$. En esta fórmula $\alpha=a+1$, $\beta=a$ y la combinación con (1) con $c=a+1$, se obtiene $$ _2F_1(a-1,a,a+1,z)+(a-1){}_2F_1(a,a,a+1,z)=a(1-z)^{1-a}.\tag{2}$$

3. Valor en (2) $\displaystyle a=\frac34$ $\displaystyle z=\frac{2-\sqrt{3}}{4}$ da la citada relación.