Intuitivamente, @D. Thomine ya explicado por los incrementos no son independientes ni inmóvil. Otra manera de ver que es de anotar que la de Ornstein-Uhlenbeck, se caracteriza por su "retorno a significar" de la propiedad. A lo que me refiero es que cuando $V_t$ está lejos de cero, el término $-\beta V_t\,\mathrm dt$ tiene una tendencia a arrastrar de nuevo el proceso a $0$ ya que (de nuevo de forma heurística) $\mathbb E[\Delta V_t]=-\beta V_t\Delta t$. Por ello, parece claro, al menos intuitivamente, que los incrementos no son independientes.
Que podemos hacer los cálculos. Yo no soy $100\%$ seguro de estos, así que asegúrese de comprobar si algo parece fuera de lo común.
La única solución de Ornstein-Uhlenbeck, la ecuación diferencial estocástica
$$
V_t=\nu e^{-\beta t}+\sigma\int_0^te^{-\beta(t-u)}\,\mathrm dW_u,
$$
desde una aplicación de la fórmula de Itô rendimientos
$$
\mathrm dV_t=-\beta\nu e^{-\beta t}\,\mathrm dt-\sigma\beta e^{-\beta t}\left(\int_0^te^{\beta u}\,\mathrm dW_u\right)\,\mathrm dt+\sigma\,\mathrm dW_t
=-\beta V_t\,\mathrm dt+\sigma\,\mathrm dW_t.
$$
Como sugerencia en la OP, $(V_t)$ es un proceso Gaussiano, por lo que tiene incrementos independientes si y sólo si $\mathrm{Cov}\,(V_{t+s}-V_s,V_s)=0$ todos los $t,s\ge 0$. Esto sucede si y sólo si
$$
\mathbb E\left[\left(\int_0^{t+s}e^{-\beta(t+s-u)}\,\mathrm dW_u-\int_0^se^{-\beta(s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\left(\int_0^se^{-\beta(s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\right]=0.
$$
Cada uno de los términos pueden ser calculados de acuerdo a la Itô isometría fórmula:
\begin{align*}
&\mathbb E\left[\left(\int_0^{t+s}e^{-\beta(t+s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\left(\int_0^se^{-\beta(s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\right]\\
&=e^{-\beta(t+2s)}\mathbb E\left[\left(\int_0^se^{\beta u}\,\mathrm dW_u\right)^2\right]+\mathbb E\left[\left(\int_s^{t+s}e^{-\beta(t-u)}\,\mathrm dW_u\right)\left(\int_0^se^{-\beta(s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\right]\\
&=e^{-\beta(t+2s)}\frac1{2\beta}\left(e^{2\beta s}-1\right),
\end{align*}
y del mismo modo,
$$
\mathbb E\left[\left(\int_0^se^{-\beta(s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\left(\int_0^se^{-\beta(s-u)}\,\mathrm dW_u\right)\right]=e^{-2\beta s}\frac1{2\beta}\left(e^{2\beta s}-1\right).
$$
Por lo tanto,
$$
\mathrm{Cov}\,(V_{t+s}-V_s,V_s)=-\frac{\sigma^2}{2\beta}\left(1-e^{-2\beta s}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right).
$$
En este punto, hemos de señalar que la covarianza es negativa, como se esperaba. Además, si $t$ es fijo, y $s$ va al infinito, a continuación, de forma heurística, la covarianza de los incrementos tienden a una covarianza que depende de la $t$.
Por lo tanto, los incrementos se correlacionaron negativamente, incluso como $s$ va al infinito.
Por último, tenga en cuenta que si partimos de una distribución $\nu\sim N(0,\frac{\sigma^2}{2\beta})$ que es independiente del proceso de Wiener $(W_t)$, $(V_t)$ tiene una constante de distribución, $\forall t\ge 0, V_t\sim N(0,\frac{\sigma^2}{2\beta})$. En este caso,
\begin{align*}
\mathrm{Cov}\,(V_{t+s}-V_s,V_s)&=\mathbb E\left[\left(\nu e^{-\beta(t+s)}-\nu e^{-\beta s}\right)\nu e^{-\beta s}\right]-\frac{\sigma^2}{2\beta}\left(1-e^{-2\beta s}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right)\\
&=\frac{\sigma^2}{2\beta}\left(e^{-\beta(t+2s)}-e^{-2\beta s}\right)-\frac{\sigma^2}{2\beta}\left(1-e^{-2\beta s}\right)\left(1-e^{-\beta t}\right)\\
&=-\frac{\sigma^2}{2\beta}\left(1-e^{-\beta t}\right),
\end{align*}
así que, aquí también, los incrementos quedan de covarianza negativa, y por cierto, esta es la limitante de la covarianza de la inicialmente considerada proceso. Incluso si la distribución del proceso es estacionario, los incrementos quedan correlacionó negativamente.
También podemos observar la distribución de $V_{t+s}-V_s$. Es claramente Gaussiana de media de $0$, y la varianza está dada por
\begin{align*}
&\mathrm{Var}\,(V_{t+s}-V_s)\\
&=\frac{\sigma^2}{2\beta}\left(\left(e^{-\beta(t+s)}-e^{-\beta s}\right)^2+\left(\left(1-e^{-2\beta(t+s)}\right)+\left(1-e^{-2\beta s}\right)-2e^{-\beta(t+2s)}\left(e^{2\beta s}-1\right)\right)\right)\\
&=\frac{\sigma^2}{\beta}\left(1-e^{-\beta t}\right).
\end{align*}
Por lo tanto , los incrementos son estacionarias, cuando la distribución del proceso es estacionario, y
$$
V_{t+s}-V_s\sim N\left(0,\frac{\sigma^2}{\beta}\left(1-e^{-\beta t}\right)\right).
$$
