He leído el libro sobre la teoría cuántica de campos durante algún tiempo, pero todavía no puedo obtener la física subrayar los tediosos cálculos. La cosa que me confunde es más que la mecánica cuántica se refiere a la teoría del campo cuántico como una aproximación de bajo límite de energía. Gratis escalar campo $\psi$ por ejemplo. Se describe free spin 0 bosón. Y que satisface Klein-Gordon ecuación de $(\partial_{\mu}\partial^{\mu}+m^2)\psi=0$. En la mecánica cuántica, la función de onda $\psi^{\prime}$ de una partícula libre sin girar también debe obedecer a la de Klein-Gordon ecuación o su límite clásico de la ecuación de Schrödinger. Por lo que el operador de campo $\psi$ y la función de onda $\psi^{\prime}$ debe tener alguna relación. Si tomamos cuantización canónica en cuenta, podemos suponer que $\psi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2}}[a(x,t)+a^{\dagger}(x,t)]$ e interpretar $a^{\dagger}$ como la creación de un operador. Pero no sé, el siguiente paso para deducir la de Klein-Gordon o ecuación ecuación de Schrödinger para una partícula de función de onda de $\psi^{\prime}$ en la mecánica cuántica, si partimos de la teoría cuántica de campos y tomar bajo límite de energía.
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El campo y la función de onda tienen un aspecto similar, pero que en realidad no tienen mucho que ver uno con otro. El punto principal de este campo es el grupo de la creación y aniquilación de los operadores de una forma sencilla, que podemos utilizar para la construcción de los observables. Como de costumbre voy a empezar con el servicio gratuito de teoría.
Si queremos encontrar una conexión a la no-relativista QM, el campo de la ecuación no es el camino a seguir. Más bien, debemos buscar en los estados unidos y el de Hamilton, que son los ingredientes básicos de la ecuación de Schrödinger. Veamos el Hamiltoniano primera. El procedimiento habitual es comenzar con el Lagrangiano para la libre escalares del campo, pase a la Hamiltoniana, escribir el campo en términos de$a$$a^\dagger$, y un enchufe que en $H$. Voy a suponer que usted sabe todo esto (que se hace en cada capítulo en segunda cuantización en cada QFT libro), y usar sólo el resultado:
$$H = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, \omega_p\, a^\dagger_p a_p$$
donde $\omega_p = \sqrt{p^2+m^2}$. También hay un impulso operador $P_i$, que resulta ser
$$P_i = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, p_i\, a^\dagger_p a_p$$
El uso de las relaciones de conmutación es sencillo para calcular el cuadrado de un impulso, que vamos a necesitar más tarde:
$$P^2 = P_i P_i = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3}\, p^2\, a^\dagger_p a_p + \text{something}$$
donde $\text{something}$ da cero cuando se aplica a una partícula estados, debido a que tiene dos operadores de aniquilación uno al lado del otro.
Ahora vamos a ver cómo tomar el no-límite relativista. Vamos a asumir que estamos tratando con una sola partícula de los estados. (No sé cuánto pérdida de generalidad esto es, la libre teoría no cambia el número de partículas por lo que no debe un gran negocio, y también nos suelen asumir un número fijo de partículas en regular QM.) Digamos que en la de Schrödinger imagen tenemos un estado que en algún punto se escribe como $|\psi\rangle = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} f(k) |k\rangle$ donde $|k\rangle$ es un estado con tres impulso $\mathbf{k}$. $f(k)$ debe ser distinto de cero sólo para $k \ll m$. Ahora veamos lo que ocurre si aplicamos la de Hamilton. Dado que sólo tenemos bajo el impulso, en el intervalo de integración se puede aproximar $\omega_p$ $m+p^2/2m$ e ignorar la constante de la energía de reposo $m$.
$$H|\psi\rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m}^\dagger_p a_p \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} f(k) |k\rangle \\ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} f(k)^\dagger_p a_p |k\rangle \\ = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{p^2}{2m} f(k) (2\pi)^3 \delta(p-k) |k\rangle \\ = \int \frac{d^3 k}{(2\pi)^3} \frac{k^2}{2m} f(k) |k\rangle = \frac{P^2}{2m} |\psi\rangle $$
Así que si $|\psi\rangle$ es cualquier partícula de estado (que es debido a que los estados, de indudable impulso formar una base), tenemos que $H|\psi\rangle = P^2/2m |\psi\rangle$. En otras palabras, en el espacio de una partícula estados, $H = P^2/2m$. La ecuación de Schrödinger es aún válida en QFT, por lo que podemos escribir de inmediato
$$\frac{P^2}{2m} |\psi\rangle = i \frac{d}{dt} |\psi\rangle$$
Esta es la ecuación de Schrödinger para un libre, no-relativista de la partícula. Usted notará que he mantenido algunos conceptos de la QFT, en particular la creación y aniquilación de los operadores. Usted puede hacer esto no hay problema, pero el trabajo con las $a$ $a^\dagger$ en QM no es particularmente útil debido a que se crean y se destruyen las partículas, y hemos asumido la energía no es lo suficientemente alta como para hacer eso.
El manejo de las interacciones es más complicado, y estoy totalmente de admitir que no estoy seguro de cómo incluirlas aquí de una manera natural. Creo que parte del problema es que las interacciones en QFT son bastante limitados en cuanto a su forma. Tendríamos que empezar con la totalidad de la QED de Lagrange, quitar el $F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}$ plazo ya que no estamos interesados en la dinámica de los campos EM sí, tal vez establecer $A_i = 0$ si no nos preocupamos de los campos magnéticos, y ver lo que sucede a la de Hamilton. Ahora mismo no estoy a la tarea.
Espero convencido de que este nuevo formalismo reduce a QM en una manera significativa. A destacar el mensaje es que los campos no llevan un montón de significado físico; sólo son herramientas convenientes para configurar los estados que queremos y calcular las funciones de correlación. Esto lo aprendí de la lectura de Weinberg; si estás interesado en este tipo de preguntas, te recomiendo que lo hacen después de que te has vuelto más cómodo con QFT.
No estoy seguro de cómo se logró ese objetivo en la cabeza: es casi seguro que no es lo que introductoria segunda cuantización de texto que le está diciendo a hacer. Wikipedia ha decente resúmenes de el puente entre QFT y QM, es decir, real escalar la teoría del campo ; multidimensional oscilador cuántico; celosía phonon osciladores.
El 1+1 campo cuántico $\psi$ usted escribió es un operador, se puede resolver a $$\psi(x)=\frac{1}{2\pi} \int dk ~e^{ikx} \phi_k= \frac{1}{2\pi} \int dk ~e^{ikx} (a_k+a_k^\dagger ) \sqrt{\frac{\hbar}{2\omega_k}}~,$$ donde puedo utilizar la más convencional de la carta, φ para la transformada de Fourier operador de campo y la taquigrafía $\omega_k=\sqrt{k^2+m^2}$ a partir de la K-G relación de dispersión que planteas.
Por lo que el campo cuántico que escribir es una combinación lineal de una infinidad de modos normales $a_k$ y sus conjugados para una infinidad de resumen teórico junto oscilador de operadores en un 1-dimensional de celosía.
El operador de campo de conmutación relación es equivalente a la norma de conmutación relación para cada oscilador marcados por los k, y la frecuencia propia de cada uno es la dada anteriormente, todos diferentes. Está hecho: cada oscilador tiene un hamiltoniano $H_k=\hbar \omega_k (a_k^\dagger a_k + 1/2) $, y sin duda se puede convertir en un equivalente de Schroedinger onda eqn-pero ¿por qué debería? Dirac ya resuelto el problema para usted en el espacio de Fock: las respuestas son siempre en la mecánica matricial.
De todos modos, usted puede simplemente fabricar el equivalente a $H_k=\hat{p}^2_k/2m_k +m_k \omega^2_k \hat{x}^2_k/2$, que, en algunos abstractos espacio de coordenadas, $x_k$, se presenta como una ola operador $-\hbar^2 \partial_{x_k}^2/2m_k +m_k\omega^2_k x^2_k/2$ que actúa sobre c-número de wavefunctions $\psi_k'(x_k)$; no a los operadores, como antes, en QFT. Nota el campo de la masa m y el absorbible masa $m_k$ de cada uno de ellos son completamente independientes de los parámetros y sirven para diferentes propósitos. No baja energía de los límites realmente necesita ser tomado, pero, por supuesto, la Goldstone modo k=0 está en la parte inferior del espectro.
Por lo que es una auto-derrota idea de comparar manzanas y naranjas, operador de campo cuántico funciones de espacio-tiempo y una colección infinita de funciones de onda se define en completamente diferentes espacios: como apreciamos ahora actúan sobre salvajemente diferentes espacios. La x de QFT es nuestro espacio, pero, el infinito $x_k$s de QM se resumen teórico de los espacios para cada oscilador, idealmente nunca contemplada...
