Variación de:

Question

Estoy hecho para caracterizar los valores de los parámetros de $\eta, \varepsilon$ para que la función anterior es de variación acotada en $[0,1]$, cuando nos proponemos $f(0)=0$. Por "limitado variación", me refiero a que la siguiente suma es acotado por una constante $c$ donde $t_i$ son los puntos de límite de cualquier partición de $\mathcal{P}$ del intervalo en un número finito de segmentos: $$\sum_{j=1}^n |f(t_j)-f(t_{j-1})|$$

He hecho un poco de progreso: necesitamos $\varepsilon$ racional con denominador impar, o de lo $\sin^{\varepsilon}(\frac{1}{x})$ no estar definida en todo el intervalo. Además tenemos $\eta$ $\varepsilon$ no negativo, positivo si ignoramos los casos triviales cuando están en 0, o la función va a ser ilimitado a los ceros de $\sin(\frac{1}{x})$ o cerca de cero, respectivamente, mientras que la limitada variación funciones nunca han esencial discontinuidades.

Puedo diferenciar $f$: $$f'=x^{\eta-1}\sin^{\varepsilon-1}(\frac{1}{x})(\eta\sin(\frac{1}{x})-\varepsilon\cos(\frac{1}{x}))$$

Esto me da puntos críticos en los ceros de $\sin{\frac{1}{x}}$ y en la infinidad de puntos donde $\tan\frac{1}{x}=\frac{\varepsilon}{\eta}$. Lo ideal sería que me había estimado la variación por tomar una partición en cada punto crítico, ya que entre todos los extremos locales en la partición de la garantía, más o menos, que me la captura de "todos los $f$'s de la variación". Ahora estoy en una pérdida de cómo proceder. Hay algunas buenas series por los que podría vinculado a la suma que me llega de esta manera? Debo intentar un enfoque completamente diferente de lo que esta usando puntos críticos? Gracias por tus sugerencias.

EDIT: Después de discutir con algunos otros miembros del curso, estamos bastante seguros de que el valor de $\varepsilon$ es indiferente y $\eta>1$ da delimitada variación mientras que $\eta \leq 1$ no. Pero lo más cercano que tengo a un argumento para esto es señalar que el primer caso es justo al $f'$ es absolutamente integrable en $[0,1]$, lo que parece pertinente para la satisfacción de Sasha de la condición en los comentarios.

Answer 1

Desde $f$ $|f|$ tienen la misma variación total, podemos substituir $f$ $f(x) = |x|^\eta |\sin (1/x)|^\varepsilon$ (e incluso permitir arbitraria real $\varepsilon > 0$.) En este caso, todos los puntos donde se $\sin \frac1x = 0$ son mínimos, y todas las soluciones a $\tan \frac1x = \frac\varepsilon\eta$ son máximos. Para cada $k \in \mathbb{N}$, no es exactamente una solución de $x_k$ a la última ecuación con ${k \pi} < \frac1{x_k} < (k+1/2) \pi$. Desde $$\left|\sin \frac1{x_k}\right| = \left|\tan \frac1{x_k}\right| \left|\cos \frac1{x_k}\right| = \frac\varepsilon\eta \left|\cos \frac1{x_k}\right| \to \frac\varepsilon\eta$$ as $k \to \infty$, we get that $$\left|x_k^{-\eta}f(x_k)\right| = \left|\sin \frac1{x_k}\right|^\varepsilon \to \left(\frac\varepsilon\eta\right)^\varepsilon =:C>0 $$ as $k\to\infty$. For $k$ large, we have $C/2 \le \left|x_k^{-\eta}f(x_k)\right| \le C$, so that the total variation on the interval $\left[\frac1{k\pi}, \frac{1}{(k-1)\pi}\right]$ (whose endpoints are minima, and which contains exactly one maximum at $x_k$) is $V_k = 2f(x_k)$ and so $$\frac{C}2 ((k+1/2)\pi)^{-\eta}\le \frac{C}2 x_k^\eta \le V_k \le C x_k^\eta \le C(k\pi)^{-\eta}.$$ Resumiendo$k$, y la observación de que ambas series se $\sum\limits_{k=1}^\infty k^{-\eta}$ $\sum\limits_{k=1}^\infty (k+1/2)^{-\eta}$ convergen iff $\eta > 1$, se obtiene que la variación total es finito iff $\eta>1$.

Answer 2

Esta pista puede ayudarle con su problema: Si la derivada de una función existe y es limitada en $[a,b]$, entonces la función es de variación acotada en $[a,b]$.

Ha añadido:

Ahora, la idea es poner condiciones en $ \eta $ y $ \epsilon $, para que el derivado existirá y será comprendido en el intervalo entero [0,1]. Ver dónde está el problema con el derivado en [0,1].