En un doble cubriendo hay una forma diferenciada $\omega$ surge por la retirada de una forma diferenciada bajo la proyección iff es el pullback de $\omega$ bajo el mapa de $i$ donde $i$ es el mapa inducida a partir de la involución de orientación, $\omega$ sí. ¿Por qué es este el caso?
Hago esta pregunta porque estoy muy metida la lectura de este documento.
El paso se encuentra en la página 148 último párrafo. Gracias de antemano.
Si $\omega$ es un retroceso, decir $\omega=\pi^*\alpha$, entonces se puede demostrar que los $\omega$ $i$- invariante sólo de functoriality: $$i^*\omega=i^*\pi^*\alpha=(\pi \circ i)^*\alpha=\pi^*\alpha=\omega \, .$$
Por el contrario, desde la $\pi$ es una cubierta mapa, tiene local inversos, por lo que siempre puede localmente definir un formulario $(\pi^{-1})^*\omega$. El problema es, diferentes opciones de inversa podría dar lugar a distintas formas. Si usted escribe todo lo que fuera con cuidado, usted puede utilizar el mismo tipo de functoriality argumento para ver que si $\omega$ $i$- invariante, todas estas diversas formas de ser igual, y por lo $(\pi^{-1})^*\omega$ será global bien definido.
EDITAR para más detalles sobre el duro dirección:
Tenemos una doble cubierta de la $\pi:\tilde M \to M$, su correspondiente involución $i$, y un $i$invariante en el formulario de $\omega$$\tilde M$. Nos gustaría mostrar que $\omega$ es el pullback de alguna forma $\alpha$$M$.
Deje $\mathcal{C}$ ser una vulgarización de apertura de la tapa de $M$. Vamos a definir $\alpha$ $M$ definiendo en cada una de las $U \in \mathcal{C}$, y, a continuación, mostrar que estas definiciones están de acuerdo en las intersecciones.
Supongamos $U \subset M$ es abierto y banaliza $\pi$, lo $\pi^{-1}(U)$ se compone de dos copias disjuntas de $U$. Es decir, nos han desunido incrustaciones $p:U \to \tilde M$, $q:U \to \tilde M$ que invertir localmente $\pi$ y así satisfacer $i \circ p=q$, $i \circ q=p$. Por otra parte, por el mismo tipo de functoriality de cálculo que hemos hecho antes, $$ p^* \omega = (i \circ q)^* \omega = q^*i^*\omega = q^* \omega \, .\\ $$ Así que no hay una única forma de $\alpha_U=p^*\omega=q^* \omega$ que puede ser construido de esta manera. Por otra parte, $$ \omega|_{p(U)}=(p\circ\pi)^*\omega|_{p(U)}=\pi^*p^*\omega=\pi^*\alpha_U \\ \omega|_{q(U)}=(q\circ\pi)^*\omega|_{q(U)}=\pi^*q^*\omega=\pi^*\alpha_U $$ desde $p \circ \pi$ $q \circ \pi$ son los mapas de identidad en $p(U),q(U)$. Así $\omega|_{\pi^{-1}(U)}=\pi^*\alpha_U$.
Por último, es evidente a partir de la construcción que para $W \subset U$, $\alpha_W=\alpha_U|_W$. Así, en particular, para cualquier $U,V \in \mathcal{C}$, tenemos $$ \alpha_U|_{U \cap V}=\alpha_{U \cap V}=\alpha_V|_{U \cap V} $$ y por lo tanto el $\alpha_U$ son todas las restricciones de la misma forma global la $\alpha$. Desde $\omega$ está en todas partes localmente un retroceso de $\alpha$, es globalmente un retroceso de $\alpha$ como se desee.
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