Topología de las superficies equipotenciales

Question

Vamos a pensar planas superficies equipotenciales, dicen que son paralelos al plano x-y, que, al parecer, $p_x$ $p_y$ son cantidades conservadas.

A continuación, vamos a pasar a cilíndrico equi-potenciales. A continuación, $p_z$ $p_\phi$ se conservan de simetrías. La otra manera en que podemos pensar es que un cilindro puede ser obtenido a partir de la identificación de los dos opuestos de las fronteras de un rectángulo. Así que podemos hacer un mapa de $p_x \rightarrow p_z, p_y\rightarrow p_\phi$.

Vamos a hacer el plegado una vez más, de modo que el cilindro que ahora se convierte en un toro. Si usted cree topología, entonces deberíamos esperar dos conservado momenta, asociada con la órbita alrededor del círculo rojo en la imagen y el magenta círculo. Pero un cuidadoso cálculo de invocar el teorema de Noether no parecen apoyar esta creencia porque transformación a lo largo del círculo rojo, parece que no conserva el Lagrangiano y por lo tanto no proporcionan una conserva de impulso.

Para ampliar un poco más, yo uso las siguientes coordenadas en el toro, donde $\theta$ es el ángulo en círculos menores, y $\phi$ es sobre el gran círculo. Entonces el Lagrangiano se expresa en términos de $\theta$ $\phi$ es dependiente de $\theta$, lo $p_\theta$ no se conserva.

Por lo tanto, si usted cree en la topología, ¿dónde está la otra simetría?

\begin{align}x(\theta,\varphi) &= (R+ r\cos\theta)\cos\varphi\\ y(\theta,\varphi) &= (R+ r\cos\theta)\sin\varphi\\ z(\theta,\varphi)&= r\sin\theta\end{align}

Answer 1

Su representada (en la figura agradable!) toro no es plana y está inmerso en $\mathbb R^3$, la que se obtiene por las identificaciones de los bordes opuestos de un rectángulo es lugar plano y no es métricamente inmerso en $\mathbb R^3$.

Estos dos tipos de toro son topológicamente iguales (homeomórficos y también diffeomorphic en realidad), pero son métricamente distintos (no son isométrica).

Aquí métricos nociones de la materia. Esta es la razón por la inmersión de toro tiene una simetría menos de la plana toro.

Las órbitas de los ángulo de $\theta$ son simetrías siempre que la métrica en el torus es plana, tal como surge de poner la métrica del plano en el toro con el estándar de identificaciones sólo para producir un plano de toro. Sin embargo, esta medida no es la que el toro recibe de la métrica de $\mathbb R^3$ viéndolo como un inmersos superficie: la curvatura de la muestra hasta aquí y $\theta$ no es un métricamente invariante de la dirección. En el plano de toro, por ejemplo, el violeta de los círculos tienen la misma longitud, en la inmersión de toro, su longitud es variable dependiendo $\theta$ como es evidente a partir de la figura...

El Lagrangiano tiene la correspondiente simetrías dependiendo de la noción de toro que usted considere.

En el caso límite de un toro con una infinita radio de $R$, que es un cilindro, los dos valores coinciden. Esta es la razón por la que usted no puede ver el problema de sólo mirar el cilindro.

Este es un ejemplo interesante, donde la topología no es suficiente para solucionar la física.