Determinar el número de permutaciones de $ \ \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \ $ que tienen exactamente 3 números en su posición natural

Question

Determinar el número de permutaciones de $ \ \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \ $ que tienen exactamente 3 números en su posición natural. $$ $$ Es $ \ \ \begin{pmatrix} 10 \\ 3 \end{pmatrix} \times 7 ! \ $ ?

Answer 1

No, porque $7!$ permite que los elementos adicionales estén en su posición natural. Después de la $3$ posición fija se seleccionan, se necesita un desprendimiento de los restantes $7$ artículos.

Answer 2

Tienes que elegir $3$ elementos que se mantienen en sus posiciones en $\binom{10}{3} = 120$ y multiplicarlo por el número $!7$ de permutaciones de tipo especial llamadas derangement sobre lo que queda $7$ elementos. Hay muchas formas de calcular el número $!k$ (ver enlace), particularmente se sabe que es igual a $\frac{k!}{e}$ redondeado al número entero más cercano. Por lo tanto, $\frac{5040}{e} \approx 1854 =\,!7$ y el número deseado de permutaciones en $10!$ elementos manteniendo exactamente $3$ de ellos en su lugar es $\binom{10}{3} \cdot\,!7 = 120 \cdot 1854 = 222\,480$ .

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Otra forma de calcular el número de estas permutaciones es principio de inclusión-exclusión . Hay $\binom{10}{3}\cdot 7!$ formas de seleccionar $3$ elementos para permanecer en su lugar y permutar todos los restantes. Pero para cada uno de $\binom{10}{4}$ formas de seleccionar $4$ elementos cada permutación que los mantiene en su lugar se calculó $4$ veces, sino que no debe computarse en absoluto. Continuando con estas reflexiones obtenemos que el número correcto de permutaciones deseadas es $$\binom{10}{3}\cdot 7! - \binom{10}{4} \cdot 6! \cdot \binom{4}{3} + \binom{10}{5} \cdot 5! \cdot \binom{5}{3} - \binom{10}{6} \cdot 4! \cdot \binom{6}{3}\\ + \binom{10}{7} \cdot 3! \cdot \binom{7}{3} - \binom{10}{8} \cdot 2! \cdot \binom{8}{3} + \binom{10}{9} \cdot 1! \cdot \binom{9}{3} - \binom{10}{10} \cdot 0! \cdot \binom{10}{3}\\ = 604800 - 604800 + 302400 - 100800 + 25200 - 5040 + 840 - 120 = 222480.$$

Answer 3

$\binom{n}{3}[!(n-3)]$ donde $n=10$ y $$!k = k! \sum_{i=0}^k \frac{(-1)^i}{i!}$$ .

Answer 4

No. El número de permutaciones en $S_{10}$ que tienen exactamente $3$ puntos fijos es ${10 \choose 3} \times D_7$ , donde $D_7$ denota el número de permutaciones de un $7$ -conjunto de elementos que no contienen puntos fijos (el número $D_7$ de desórdenes en $S_7$ puede calcularse utilizando el principio de inclusión-exclusión).