$F$ Seamos un campo. ¿Qué es $\operatorname{Spec}(F)$? Sé que $\operatorname{Spec}(R)$ $R$ de anillo es el conjunto de los principales ideales de $R$. Pero campo no tiene ningún no trivial ideales.
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Como usted dice $\mathrm{Spec}(R)$ se define como el conjunto de todos los primos ideales de $R$. Si $R$ es un campo, la única correcta ideal es $0$ por lo tanto, usted consigue $\mathrm{Spec}(F) = \{0\}$.
Se pone más interesante si tu espacio es un anillo que no es un campo, como por ejemplo,$R = \mathbb Z$. Entonces usted puede dotar con la siguiente topología: cada conjunto cerrado en el espacio que corresponde a un ideal de a$J$$R$, definido como:$C(J) = \{ p \mid p \text{ a prime ideal of } R \text{ such that } J \subset p\}$.
Ahora, ¿qué es $\mathrm{Spec}(\mathbb Z)$ dotado con esta topología? Bueno, en primer lugar, los puntos de nuestro espacio corresponden a primer ideales y desde $\mathbb Z$ es un director ideal de dominio, cada punto se parece a $p\mathbb Z$. Tenga en cuenta que el cero ideal $\{0\}$ es primo si y sólo si el anillo es una parte integral de dominio, por lo que en este caso, el cero es también un punto en el espacio.
A continuación, queremos saber qué conjuntos cerrados aspecto. Para esto, vamos a ponerle un alojamiento ideal en $C(\cdot)$ y a ver qué sale: $C(p\mathbb Z) = \{ p \mathbb Z \}$ lo que significa que, cada singleton en nuestro espacio está cerrado.
Ahora, ¿cuáles son los conjuntos cerrados correspondientes a non-prime ideales? Bien, $n$ tiene sólo un número finito de primos divisores, y cada punto en $C(n\mathbb Z)$ corresponde a un divisor de $n$: $C(n\mathbb Z) = \{ p \mathbb Z \mid p \mathbb Z \text{ a prime ideal containing } n \mathbb Z \}$.
Ahora sabemos que todos los conjuntos cerrados son finitos.
Editar (pido disculpas por la metedura de pata amablemente señaló René y t.b.)
Usted necesita tener cuidado sobre lo de abrir los conjuntos, es decir, de los complementos de conjuntos cerrados aspecto. Usted puede fácilmente engañar a sí mismo en la creencia de que, dado un conjunto es cerrado si y sólo si a es finito, $\mathrm{Spec}(\mathbb Z)$ tiene el cofinite topología. Pero esto es falso. Para ver esta nota, que si hemos tenido la cofinite topología, $\mathrm{Spec}(\mathbb Z) \setminus \{\langle 0 \rangle \}$ estaría abierta. Pero para que esto sea cierto, $\langle 0 \rangle$ tendría que ser cerrado, lo que significa que tendríamos que tener un ideal $I$ $\mathbb Z$ de manera tal que sólo el primer ideal es contenida en el es $\langle 0 \rangle$. Pero esto implica que $I = \langle 0 \rangle$, lo que implica que $I$ está contenida en cada primer ideal. Por lo tanto no hay ningún ideal $I$ tal que $C(I) = \{ \langle 0 \rangle \}$.
Como se señaló en la respuesta de René, se reduce a abrir todos los conjuntos contienen cero debido a que el complemento de un conjunto cerrado, $C(n\mathbb Z)^c$, es todo el primer ideales contenidos en $n \mathbb Z$ que siempre incluye a cero debido a que estamos en una integral dominio, de modo que el cero ideal es principal.
Rene Schoof
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Josh
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Sé que el espectro de un campo en el Zariski/conmutativa-álgebra/algebraicas geometría significado es sencillamente $\{ (0) \}$ pero es demasiado trivial, así que sospecha que hay otro significado de este término que se aplica a los campos. En un artículo por Yuval Parpadeo et al. hay un término relacionado: "real del espectro de un campo" $\Omega_k$ que es el espacio topológico de todos los órdenes de $\xi$ de $k$ ($k$ es un campo). Su topología es generado por el subconjuntos $$ \{ \xi \in \Omega_k \mid a > 0 \mbox{ at } \xi \}, \quad a \in k \ .$$ Así que me pregunto: ¿hay una generalización de este que se llama espectro de un campo?
Ver: Yuval Z. Parpadeo, Claus Scheiderer, R. Sujatha, Grothendieck del Teorema de No-Abelian $H^2$ Local y Global de los Principios, Revista de la Sociedad Matemática Americana, 1998*.
