¿Cómo uno probar eso si $\cos(t) = \cos(t')$ y $\sin(t) = \sin(t')$ y $t = t' + 2k\pi$?

Question

¿Cómo uno probar eso si $\cos(t) = \cos(t')$ y $\sin(t) = \sin(t')$ y $t = t' + 2k\pi$?

He intentado probar la afirmación anterior, que creo que es válido.

Sé que es inyectiva en $\sin(t)$ $[-\pi/2; \pi/2]$ $\cos(t)$ es inyectiva en $[0; \pi]$, y hasta ahora no he sido capaz de utilizar esto para probar rigurosamente la declaración.

Answer 1

también puede %#% $ #% $ de $$\cos{x}-\cos{y}=0\Longrightarrow 2\sin{\dfrac{x-y}{2}}\sin{\dfrac{x+y}{2}}=0\tag{1}$ $$\sin{x}-\sin{y}=0\Longrightarrow 2\sin{\dfrac{x-y}{2}}\cos{\dfrac{x+y}{2}}=0\tag{2}$ debe $(1),(2)$de % $ ya que kown $$\sin{\dfrac{x-y}{2}}=0$ $ así $$\sin{(k\pi)}=0,k\in Z$ $

Answer 2

\begin{align*} \cos(t-t') &= \cos(t)\cos(t') + \sin(t)\sin(t') \\ &= \cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \\ \sin(t-t') &= \sin(t)\cos(t') - \cos(t)\sin(t') \\ &= \sin(t)\cos(t) - \cos(t)\sin(t) = 0. \end{align*} $\sin(t-t')=0$ tenemos $t-t'=k\pi$ $k\in\mathbb{Z}$ y así $\cos(t-t')=\cos(k\pi)=(-1)^k$. Sin embargo, también hemos visto que $\cos(k\pi)=1$, $k$, es así $t-t'=2m\pi$ $m\in\mathbb{Z}$.

Answer 3

Si usted quiere hacer con rigor, se puede utilizar el hecho de que $sin$ y $cos$ son ortonormales en un espacio de producto interno. Ver: http://www.jimworthey.com/orthoquestions.html

Answer 4

Si $\cos(t) = \cos(t^\prime), $ y $t=\pm t^\prime + 2k\pi $ y $\sin t = \sin t^\prime,$ y $t = t^\prime + 2k\pi, \pi - t^\prime + 2k\pi$ éstos siguen la forma $\cos$ es una función incluso mientras $\sin$ es una función impar y ambos son $2\pi$-periódico. eso es todo lo que necesitas.

Answer 5

El % de punto $P_t=(\cos t,\sin t)$es el punto donde el rayo en ángulo $t$ se encuentra con el círculo unitario. Sus declaraciones diciendo que $P_t=P_{t'}$. Esto significa que los dos rayos coinciden, por lo que sus ángulos deben diferir en un múltiplo de una rotación completa. Es decir, $t-t'=2k\pi$ $k$ integral.