Prueba de un problema Integral

Question

Que $a_i >0$ $1\le i \le n$ y que $J=(0,1) \times \dots \times (0,1)$.

Quiero probar: $$\int_J{1 \over x_1^{a_1}+x_2^{a_2}+ \dots+x_n^{a_n}}dx<\infty \Longleftrightarrow \sum^n_{i=1} {1 \over a_i}>1$ $

No es simple problema que creo. ¿Cómo puedo probar? ¿Debo usar Fubini theorm?

Answer 1

Aquí es una prueba que $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}>1$ implica el integral es finita: denotan $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}$ $\frac{1}{a}$, entonces el $\sum_{i=1}^n \frac{a}{a_i} = 1$. Hay una desigualdad media aritmética-geométrica, según el cual $y_1^{s_1}y_2^{s_2}\cdots y_n^{s_n}\le s_1y_1+\cdots+s_ny_n$ cuando el $y_i$ son positivos y la suma de lo $s_i$ es 1. Aplicar esto usando $y_i=x_i^{a_i}$ y $s_i = \frac{a}{a_i}$. Encontrará que $$y_1^{a/a_1}y_2^{a/a_2}\cdots\le\frac{a}{a_1}y_1+\frac{a}{a_2}y_2+\cdots$$ The left hand side is equal to $(x_1x_2\cdots)^a$, and the right side is less than $y_1+y_2+\cdots$. Therefore $$(x_1x_2\cdots)^a\le x_1^{a_1}+x_2^{a_2}+\cdots$$ The reciprocal gives $$\frac{1}{x_1^{a_1}+\cdots}\le\frac{1}{x_1^ax_2^a\cdots}$$ If $a<1$ then each integral $\int_0^1 \frac{1}{x_i^a}\,dx_i$ converges. Therefore, if $a<1$, then the integral converges.

Answer 2

He aquí una manera de ver ambas direcciones más o menos al mismo tiempo. Para cualquier $1\le k\le n$, vamos a $J_k$ ser la subregión $\{ x \in J : x_k^{a_k} = \max(x_1^{a_1}, \ldots, x_n^{a_n})\}$. Equivalentemente, $x \in J_k$ fib $x_i \le x_k^{a_k/a_i}$ por cada $1 \le i \le k$.

Observe que para cualquier $x \in J_k$ hemos $$x_k^{a_k} \le \sum_{i=1}^n x_i^{a_i} \le nx_k^{a_k}.$$ Let's define $I_k = \int_{J_k} x_k^{-a_k} dx.$ By the above inequalities, we clearly have $I \ge \frac1n I_k$ since $J_k \subconjunto J$, and also $I \le I_1 + I_2 + \cdots + I_n$, because $J_1 \cup \cdots \copa J_n = J$.

Por lo tanto, $I$ converge si y sólo si cada una de las $I_k$ converge. Ahora es una cuestión de rutina para calcular el $I_k$ por afirmar la integración, el ahorro de $x_k$ para el último. El íntimo $n-1$ integrales son sólo el volumen de una caja con las dimensiones de $x_k^{a_k/a_i}$ (a partir de la definición de $J_k$). Por ejemplo, cuando se $k=1$ tenemos

$$I_1 = \int_0^1 \left(\prod_{i=2}^n x_1^{a_1/a_i} \right) x_1^{-a_1} dx_1 = \int_0^1 x_1^{-a_1 + a_1/a - 1} dx_1,$$ donde $\frac1a = \frac1{a_1} + \cdots + \frac1{a_n}$ @BobTerrell de la solución. Esta una dimensión integral converge iff $-a_1 + a_1/a > 0$, en otras palabras, exactamente al $a < 1$.