¿El grupo fundamental del plano proyectivo menos 2 puntos?

Question

Estoy tratando de calcular el grupo fundamental de $\mathbb{RP}^2$ menos 2 puntos. Estoy usando la presentación $\langle a\mid a^2\rangle$ . Lo que significa que estoy tomando el disco e identificando los dos lados.

Estoy conjeturando que es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ . Estoy intentando utilizar Seifert -Van Kampen pero no consigo que mis conjuntos abiertos funcionen bien. La razón por la que creo que es $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ es porque claramente un bucle alrededor de cada agujero te daría dos bucles distintos, digamos $a$ y $b$ . Pero entonces parece que $ab$ es homotópico a $ba$ . Esta relación me lleva a pensar que podría ser $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ .

Se agradecería cualquier pista.

Answer 1

Esta es la forma estándar de abordar estos problemas:

Piensa en $\mathbb{RP}^2$ como el disco $D^2$ con el límite identificado en la dirección opuesta. Entonces, después de eliminar $2$ señala el espacio se retrae en el espacio $X$ . Ahora puede ver fácilmente que $X$ no es más que $S^1\vee S^1$ . Así que tienes, $\pi_1(\mathbb{RP}^2\setminus\{\text{two points}\})\cong\pi_1(X)\cong\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$

Answer 2

Esto es similar al enfoque adoptado por Bombyx mori. Dejemos que $\mathbb{RP}^2$ identificarse con $S^2$ bajo el cociente de puntos antipodales. Por lo tanto, estamos eliminando dos pares de puntos antípodas y luego cotizando. Sean esos puntos $$(\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2,0), (-\sqrt{2}/2, \sqrt{2}/2,0), (\sqrt{2}/2, -\sqrt{2}/2,0), (-\sqrt{2}/2,-\sqrt{2}/2,0)$$ es decir, uniformemente espaciados alrededor del ecuador. Entonces se produce una retracción de la deformación de $S^2 - \{ \text{points}\}$ en la unión de grandes círculos $$A = \{(x,y,z) \in S^2 | x = 0\} \cup \{ (x,y,z) \in S^2 | y = 0\}$$ Además, podemos disponerlo de manera que esta deformación respete el cociente antipodal. Pero esto desciende entonces a una deformación retraída $$ \mathbb{RP}^2 \to A/\{\pm\} \cong S^1 \vee S^1$$ Y esto tiene grupo fundamental $\mathbb{Z} * \mathbb{Z}$ .

Answer 3

Aquí podría haber una forma poco convencional de ver esto para evitar la banda de Mobius. Dejemos que $\mathbb{RP}^{2}$ para ser $\mathbb{S}^{2}$ con puntos antipodales identificados. Ahora eliminar cuatro puntos, con dos pares de ellos antipodales y luego tomar el cociente es lo mismo que eliminar dos puntos de $\mathbb{RP}^{2}$ . Pero la primera es fácil de describir: es $\mathbb{S}^{1}\vee \mathbb{S}^{1}\vee \mathbb{S}^{1}$ . Ahora, tomando el cociente, identificamos dos círculos de este tipo en un círculo. Así que al final obtenemos $\mathbb{S}^{1}\vee \mathbb{S}^{1}$ y el grupo fundamental es $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$ .

Desde este punto de vista, mi comentario anterior (como ha señalado janmarqz) era erróneo, ya que los comentarios demostraron que no lo veía claro hasta que lo pensé con más detenimiento. De hecho, la imagen de la banda de Mobius es igualmente clara, y me confundí con el extra $\mathbb{S}^{1}$ que viene de la parte que se encoge de la banda de Mobius.