¿Por qué el anticommutator realmente se necesita en la Cuantización canónica del campo de Dirac libre?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
seb
Puntos
157
Suponiendo que la pregunta es acerca de por qué anticommutators en lugar de los conmutadores,como por David comentario:
Si me denotar la Dirac propiedades de partícula por un índice general $\alpha$ - estos pueden incluir giros, momenta - entonces si puedo crear una de dos partículas estado, con la partícula 1 habiendo $\alpha_1$ y de partículas de 2 $\alpha_2$ luego de que el estado está dada por la aplicación de la creación de los operadores en el orden $$|\alpha_{1} \alpha_{2}\rangle = b_{\alpha_1}^{\dagger}b_{\alpha_2}^{\dagger}|0\rangle>$$ If we create them the other way round:$$|\alpha_{2} \alpha_{1}\rangle = b_{\alpha_2}^{\dagger}b_{\alpha_1}^{\dagger}|0\rangle>$$ then if the b's obey anticommutation relations, it is easy to see that $$|\alpha_{2} \alpha_{1}\rangle = -|\alpha_1\alpha_2\rangle$$ es decir, la teoría naturalmente reproduce fermi estadísticas, como usted quiere para spin 1/2 partículas de Dirac.
La más elemental razón es que la Dirac campo Hamiltoniano es delimitada por debajo sólo cuando se utiliza anticommutation relaciones en la creación/aniquilación de los operadores, en lugar de los conmutadores. Un libre de la teoría cuántica de campos con energía ilimitada a continuación no tiene ningún vacío estable.
Es más fácil demostrar esto en dos dimensiones, donde no hay problemas de polarización.
Instructivo 2d ejemplo
En dos dimensiones (un espacio), hay un buen de dimensiones reducidas analógico, que es el derecho de movimiento (necesariamente sin masa) Majorana-Weyl Fermión (el argumento también funciona con 2d fermiones de Dirac con dos componentes, pero este es el caso más simple). Este es un componente de campo $\psi$, lo que obedece a la ecuación de movimiento
$$ (\partial_t -\partial_x) \psi = 0 $$
Esta simple ecuación se deriva de la 2d utilizando la ecuación de Dirac (real convención, explícitamente real) 2d matrices de Dirac (0,1;-1,0) y (0,1;1,0), que se $\gamma_0 = \sigma_x$$\gamma_1 = i\sigma_y$. Que la plaza a 1 y -1 respectivamente, y se anticommute, por lo que reproducir el 1+1 dimensiones tensor métrico. El $\gamma_5$ analógico, que voy a llamar a $\Gamma$ para adaptarse a diferentes dimensiones, es la diagonal en esta representación explícita, y $\Gamma=\sigma_z$.
Los dos vectores propios de a $\Gamma$ propagar de forma independiente por el 2d masa ecuación de movimiento
$$ \gamma_i \partial_i \psi = 0 $$
Y aún más, porque el $\gamma$ matrices son reales, este es un Majorana representación (la mayoría de los físicos escribir la ecuación de dirac con un factor en frente de la derivada, por lo que las matrices de Dirac para una Majorana representación son puramente imaginarios. Estoy usando un matemático de la convención para esto, porque me gusta las ecuaciones de movimiento para ser real. Otros, como el k-espacio propagador de no tener factores de i en k parte. Por desgracia, los físicos nunca se establecieron en un único sensato convenio--- cada uno tiene su propia forma preferida para escribir las matrices de Dirac). Por lo que es sensato en la ecuación de movimiento para restringir $\psi$ a ser Hermitian, desde su Hermitian conjugado obedece exactamente la misma ecuación.
De modo que el campo tiene una k descomposición
$$ \psi(x) = \int a_k e^{ikx - ikt }dk$$
Y la condición de la realidad (Hermiticity) nos dice que $a^{\dagger}(-k) = a(k)$ (uno debe decir que la normalización de la $a$ operadores de expansión no es completamente conceptualmente trivial - - - $a$'s son relativistically y nonrelativistically normalizado, debido a que el spinor polarización $\sqrt{w}$ factor cancela la masa-shell hipérbola factor, de modo que el dk integración no es ponderado por nada, es normal cálculo integral con el uniforme de medida)
Un operador con frecuencia definida, que (Heisenberg imagen) evoluciona en el tiempo según
$$ \partial_t O = i\omega O$$
Tiene la propiedad de que es un aumento del operador--- actuando con este operador agrega $\omega$ para la energía. Si $\omega$ es negativo, $a$ es un operador de aniquilación. La condición de que el vacío es estable dice que todos los operadores de aniquilación dar a 0 cuando actúa en el vacío.
Pero observe que la frecuencia en la expansión de $\psi$ cambia de signo en $k=0$. Este vino de la linealidad de la Hamiltoniano de Dirac en el momenta. Esto significa que el operador $a_k$ actúa para elevar la energía para k>0, pero actúa para disminuir la energía de $k<0$. Esto significa que el $k>0$ de los operadores a crear, y el $k<0$ operadores de aniquilar, de modo que la forma correcta de $a^{\dagger}(-k)$ son creación de los operadores, mientras que el $k<0$ operadores de aniquilación de los operadores.
El operador de energía, se cuenta el número de partículas de impulso k, y se multiplica por su energía:
$$ H = \int_{k>0} k a^{\dagger}(k) a(k) dk $$
Y esto claramente no es un operador local, es definida sólo integrado con k>0. Para hacer que un operador local, necesita extender la integración a todos los k, pero luego el negativo de k y positivo k contribuciones tienen signo opuesto, y necesitan ser iguales. Para arreglar esto, usted debe tomar anticommutation relaciones
$$ \{ a^{\dagger}(k),a(k)\} = i\delta(k-k') $$
Y, a continuación,
$$ H = {1\over 2} \int k a^{\dagger}(k) a(k) = \int \psi(x) i \partial_x \psi(x) dx $$
Tenga en cuenta que esto parece que es un perfecto derivados, y así sería si $\psi$ no anticommuting cantidad. Para anticommuting cantidades,
$$ \partial_x \psi^2 = \psi \partial_x \psi + \partial_x \psi \psi $$
Que es cero, debido a la anticommutation.
Las razones más profundas
Aunque esto parece un accidental de propiedad, que la energía negativa sin anticommutators, no lo es. La razón más profunda es explicado con Euclidiana teoría de campo utilizando un Feynman-Schwinger formalismo, pero esto requiere la comprensión de la distancia Euclídea y la ruta integral de las versiones de anticommuting campos, que requiere estar a gusto con anticommuting cantidades, lo que requiere de una motivación. Así que lo mejor es aprender de la profunda razón primera.
