¿Dado un campo finito $\mathbb{F}$ $2^n$, de la orden cómo construir un campo de orden $2^{2n}$?

Question

Específicamente, me gustaría construir un campo de orden de $2^{2n}$ con elementos $2\times2$ matrices cuyas entradas son los elementos de $\mathbb{F}$.

Sé que los números complejos pueden ser representados como $2\times2$ real de las matrices, y yo estaba tratando de hacer algo similar. Creo que la clave es encontrar una expresión $f(a, b)$ $a, b\in\mathbb{F}$ tal que $f(a, b)=0$ si y sólo si $a=b=0$. A continuación, asegúrese de que la expresión del determinante es exactamente $f(a, b)$ conseguir $p^{2n}-1$ invertible $2\times2$ matrices. Yo no he tenido suerte con esta idea, aunque.

Cualquier sugerencia se agradece. Yo realmente no quiero una respuesta concreta, ya que quiero hacer pensar, pero estoy esperando que alguien podría guiarme hacia la dirección correcta.

Answer 1

En general esto toma un poco de bricolaje, y más a menudo que no los finita campos están construidos de una forma un poco diferente. Ofrece sugerencias/ideas para los siguientes dos casos especiales (ambos tienen un montón de detalles que queda para usted!):

• Si $n$ es impar, entonces $f(a,b)=a^2+ab+b^2$ obras. Esto es porque si $f(a,b)=0, a\neq0,$, entonces se sigue que $(b/a)^3=1$. Pero en un campo de orden de $2^n, 2\nmid n,$ esto significa que el $(b/a)=1$, y que ayuda a comprobar la reclamación.
• No es recursivo de construcción que abarca los casos al $n$ es una potencia de dos. Se describe en esta respuesta por el tuyo de verdad. En este último caso se puede utilizar el polinomio $f(a,b)=a^2+ab+\alpha_kb^2$ lugar. Ver a esa pregunta para la descripción de $\alpha_k\in\Bbb{F}_{2^{2^k}}$.

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Edit: lo Siento no lo que sugiere la siguiente inmediato. Considere el polinomio (también conocido como el rastro) $$ tr(x)=x+x^2+x^4+x^8+\cdots+x^{2^{n-1}}. $$ Es de grado $2^{n-1}$, por lo que no puede desaparecer de forma idéntica en $\Bbb{F}_{2^n}$. Deje $\beta\in\Bbb{F}_{2^n}$ ser tal que $tr(\beta)\neq0$. Luego de ello se sigue que $tr(\beta)=1$, y también que $x^2+x+\beta$ no tiene ceros en $\Bbb{F}_{2^n}$. Por lo tanto $$ f(a,b)=a^2+ab+ab + \beta b^2 $$ funciona de la misma manera que en los otros casos.