¿Son los números algebraicos análogos a los elementos de grupo con orden finito?

Question

¿Diría usted que los "elementos de orden finito" en la teoría de grupos son análogos a los "números algebraicos" en la teoría de campos?

Pensé que este es el caso ya que requerir un número algebraico $\alpha$ sea la raíz de un polinomio (es decir, que requiera una combinación finita de términos en $\alpha$ utilizando $+$ y $\times$ para dar la identidad cero) es como el equivalente de dos operaciones de un elemento $g$ en la teoría de grupos de orden finito (donde sólo hay una operación $\times$ y requerimos un término en $g$ que se requiere para dar la identidad 1).

Sin embargo no creo que la analogía sea del todo completa porque en el caso del polinomio se nos permite también multiplicar potencias de $\alpha$ por otros elementos del campo para lograr la identidad.

Answer 1

Existe una noción general de elementos algebraicos en teoría de modelos, véase aquí .

Si $L/K$ es una extensión de campo, entonces $a \in L$ es algebraico sobre $K$ en el sentido habitual si es algebraica en el sentido de la teoría de modelos (aplicada a la estructura $(L,+,*,0,1)$ y el subconjunto de $K$ ).

Si $G$ es un grupo, entonces $a \in G$ es algebraico sobre $\emptyset$ en el sentido de la teoría de modelos si existe algún $n \in \mathbb{Z}$ con $g^n=1$ y $\{h \in G : h^n=1\}$ es finito. Por lo tanto, si $G$ es finito, entonces $n=0$ funciona y cada elemento es algebraico. Este concepto es más interesante cuando $G$ es infinito. Entonces todo elemento algebraico es de torsión. Lo contrario probablemente no es válido.

Answer 2

Aquí tienes una respuesta que te ayudará a empezar:

Hay dos tipos de números: los algebraicos y los trascendentales. Un teorema importante muestra que un campo puede dividirse también en esos dos tipos, de modo que todo se reduce a extensiones algebraicas (repetidas) como K[x]/(f) y extensiones trascendentales como K(x). Para los grupos generales, esto ya no es así. La clase más grande de grupos así se llama grupos policíclicos . También tienen un teorema de normalización en el que los elementos de orden finito se pueden reunir (en su mayoría), y entonces se tiene la adición repetida de extensiones "trascendentales", en este caso $\mathbb{Z}$ .

El grado de trascendencia de un campo corresponde a la longitud de Hirsch de un grupo policíclico.

Un campo de extensiones "puramente trascendental" es sólo un $K(X)$ . Sin embargo, un grupo policíclico "sin torsión" puede tener muchas estructuras diferentes. En otras palabras, para los campos $K(x_1)(x_2)\ldots(x_n) = K(X)$ para que las extensiones trascendentales repetidas se simplifiquen de la misma manera, pero para los grupos policíclicos extendidos por $\mathbb{Z}$ entonces $\mathbb{Z}$ entonces $\dots$ entonces $\mathbb{Z}$ hay muchas posibilidades, no sólo $\mathbb{Z}^n$ .

Si uno se aleja de los grupos policíclicos, las cosas van mal. Por ejemplo, los grupos policíclicos son generados finitamente, por lo que estamos ignorando grupos que podrían corresponder a extensiones de campo como $\mathbb{Q} \leq \mathbb{C}$ . Aumentemos las hipótesis sobre la estructura del grupo, pero permitamos la generación infinita: grupos abelianos. Ahora todavía hay un lema de normalización, los elementos de orden finito forman un subgrupo, pero ya no hay ninguna gran definición de base de trascendencia. Como grupo abeliano, tenemos grupos de rango 1 como $\mathbb{Z}$ con una base, pero $\mathbb{Z}[\tfrac12]$ , $\mathbb{Z}_{2}=\{ \tfrac{a}{2b+1} : a,b \in \mathbb{Z} \}$ , $SF = \{ \tfrac{a}{b} : a,b \in \mathbb{Z}, b \neq 0 \text{ is square-free} \}$ y $\mathbb{Q}$ no. Así que la normalización es mucho menos útil. Peor aún, juntar grupos de rango 1 no es la única forma de obtener grupos de rango 2, por lo que incluso los incontables tipos de grupos de rango 1 (frente a 1 tipo de campo trdeg 1) no son suficientes para describir los grupos de rango 2 (frente a 1 tipo de campo trdeg 2).