Cómo transformar la forma factorizada de$\sin(x)$?

Question

Sabemos que$\sin(x)=0$ tiene soluciones$0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm3\pi,\dots$.

Así que$\sin(x)$, si se interpreta como un polinomio, podría escribirse como:

$a_0x^0+a_1x^1+a_2x^2+\cdots$ Y conocemos este polinomio también:

ps

Por lo tanto, la pregunta es, ¿es posible transformar la forma factorizada de$$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$:

ps

a

ps

Answer 1

La respuesta es sí, usted puede factor de $\sin(z)$ en un producto de ceros. El general de la teoría detrás de esto es la factorización de Weierstrass. Por su ejemplo,

$$\sin(z)=z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)$$

De hecho, Euler famoso utiliza un unrigorously forma derivada de esta identidad para resolver el problema de Basilea. Digo "unrigorously" aquí, ya que, si bien se puede mostrar que la función se puede escribir como un producto más que ceros, es el fuera de plazo (1 en este caso, en frente de la primera 'z') que se lleva el trabajo a la deriva. Por ejemplo, si tuviéramos la función de $e^z\sin(z)$, entonces no sería una $e^z$ factor en el exterior del producto. Desde $e^z$ no tiene ceros, no se puede romper en un producto de este tipo, por lo que bastaría como un factor. Más difícil funciones tienen aun más complicado producto de las representaciones, pero la regla general es que la función de los factores en un producto más de ceros veces algo que se parece a $e^{g(s)}$.

Una consecuencia interesante de esto es que no necessarly posible una transformación directa de un producto en el infinito polinomio correspondiente a la función. Uno puede, sin embargo, escribir una correspondencia entre el producto y la suma de los ceros y los coeficientes polinomiales. Esto viene a partir de las fórmulas de Vieta , que es precisamente lo que Euler utiliza para mostrar $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$.

Answer 2

La propuesta es: $$\sin x = a(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)\cdots$$

El resultado estándar, ya publicado por Sam, es en efecto $$ \sen x = \frac{x-\pi}{\pi}\cdot \frac{x+\pi}{\pi} \cdot \frac{x - 2\pi}{2\pi}\cdot \frac{x+2\pi}{2\pi}\cdot\frac{x-3\pi}{3\pi}\cdot\frac{x+3\pi}{3\pi} \cdots $$ Por lo que el coeficiente "$a$" en frente de todo el asunto es más . . . . interesante . . . que puede ser que inicialmente pensaba. Podría Euler han considerado $$ a = \frac{1}{\pi^2}\cdot\frac{1}{(2\pi)^2}\cdot\frac{1}{(3\pi)^2}\cdots $$ ser una especie de "infinitamente pequeño número"? Podría realmente ser fructífera en cierta manera de pensar en ella de esa manera?