¿Resolver una recurrencia con diagonalización?

Question

Teniendo en cuenta la recurrencia $F_n=F_{n-1}+3F_{n-2}-3F_{n-3}$ donde $F_0=0$, $F_1=1$ y $F_2=2$. El uso de diagonalización para encontrar una forma cerrada de expresión para $F_n$.

Así que primero siguió la recurrencia a encontrar $F_3=5$, $F_4=8$, $F_5=17$ ... etc

A partir de esto es que yo tengo un vector con tres términos consecutivos en la recurrencia a ser

$u_k = \begin{pmatrix} -3F_{n-3} \\ 3F_{n-2} \\ F_{n-1}\end{pmatrix}$

Desde aquí se obtiene una matriz de $A$ a partir de los términos de la recurrencia:

$A = \begin{pmatrix} F_4 & F_3 & F_2 \\ F_3 & F_2 & F_1 \\ F_2 & F_1 & F_0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

Entonces la acción de la $A$ $u_k$ produciría la $u_{k+1}$ plazo. [Me corrija si estoy equivocado.]

Así, $Au_k = \begin{pmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3F_{n-3} \\ 3F_{n-2} \\ F_{n-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24F_{n-3} + 15F_{n-2} + 2F_{n-1} \\ -15F_{n-3} + 6F_{n-2} + F_{n-1} \\ -6F_{n-3} + 3F_{n-2} + 0 \end{pmatrix}$

A continuación, $u_0 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$

A partir de este punto estoy seguro de cómo seguir a través de completar el problema. He seguido este Fibonacci Recurrencia del Problema - Más Útil para averiguar qué hacer a continuación, pero se han quedado cortos.

Veo que el siguiente paso debe ser encontrar a $\det(A - \lambda I)$ :

$0 = \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 8-\lambda & 5 & 2 \\ 5 & 2-\lambda & 1 \\ 2 & 1 & -\lambda \end{vmatrix}$

$=(8-\lambda)\begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & -\lambda\end{vmatrix} - 5\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 2 & -\lambda\end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 5 & 2-\lambda \\ 2 & 1\end{vmatrix}$

$= (8-\lambda)(-2\lambda^2-1)-5(-5\lambda-2)+2(1+2\lambda)$

$= -16\lambda^{2}-8 + 2\lambda^3 + \lambda + 29\lambda + 12$

$= 2\lambda^3-16\lambda^2+30\lambda+4$

$= 2(\lambda^3-8\lambda^2+15\lambda+2)$

$= 2((\lambda-5)(\lambda-3)\lambda+2)$

De la fuente de arriba, yo no puedo averiguar cuáles son los próximos pasos? Alguien puede ayudar? Gracias!

Answer 1

Su matriz $A$ no es correcto. Debe representar a la recurrencia. Se definen $u_k = \begin{pmatrix} F_{k+2} \\ F_{k+1} \\ F_{k}\end{pmatrix}$ y la matriz $A$ es tal que $u_{k+1}=Au_k$, lo $A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & -3 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$ donde la primera línea es la recurrencia, y los dos más bajos de los últimos valores. Esta es la matriz que desea diagonalize, y tiene bonitos autovalores. Usted necesita encontrar una matriz $P$ tal que $A=P^{-1}DP$ $D$ diagonal. La diagonal entradas de $D$ serán los autovalores de a $A$ y lo bueno es que $A^n=P^{-1}D^nP$. Potencias de una matriz diagonal son bastante más fácil que un general de la matriz.