¿Cuáles son las ecuaciones que modelan un sistema de muelles verticales con dos masas?

Question

Modelado de un sistema de resorte vertical con una masa es un problema bastante común. Miré a mi alrededor en línea y encontré algunos horizontal de la primavera de sistemas con dos masas, pero no hay ejemplos de una vertical.

Tengo curiosidad, ¿cómo configurar las ecuaciones de modelado de un sistema de resorte vertical como este: $$ \begin{cases} z & \text{for %#%#%} \\ 2-z & \text{for %#%#%} \\ 0 & \text{otherwise.} \end\\ \wedge \\ \v \\ \wedge \\ \v\\ (m_1)\\ \wedge\\ \v\\ \wedge\\ \v\\ (m_2) $$

Donde el primer resorte de constante $k_1$, y el segundo $k_2$. Voy a dejar de $y_1(t)$ ser la posición de la parte superior de la masa lejos de su equilibrio, y $y_2(t)$ la posición de la parte inferior de la masa lejos de su equilibrio. Elijo a ser hacia abajo la dirección positiva.

Para la parte inferior de la misa, hay una fuerza hacia arriba de $k_2y_2$, y una baja fuerza de gravedad de $m_2g$. Así que una ecuación debe ser $$ m_2y_2"=-k_2y_2+m_2g $$ Para la parte superior de la masa, la primera de la primavera tira con fuerza de $-k_1y_1$ y una baja fuerza de gravedad de $m_1g$. No estoy seguro de cómo tener en cuenta las fuerzas de la segunda primavera y la segunda misa de acción de la primera misa. Es la ecuación de algo como $$ m_1y_1"=-k_1y_1+m_1g+\text {?} $$

Yo sólo soy curioso cómo configurar correctamente las ecuaciones de este sistema. Gracias.

Answer 1

Ya que parece que no la incorporación de una amortiguación plazo, voy a proceder en virtud de esa presunción.

Deje $k_i$ el valor de la constante elástica del resorte sobre la masa $m_i$, $i=1,2$. Luego, por la Segunda Ley de Newton $F=ma$ y de Hooke la Ley que dice que la fuerza restauradora de la $y$ unidades más allá de su posición de equilibrio, es decir,$F_\text{restorative}=-ky$, obtenemos \begin{align} m_1y''_1&=\overbrace{-k_1y_1}^{\text{Hooke's Law from above}}\underbrace{-k_2(y_1-y_2)}_{\text{Hooke's Law from below}},\\ m_2y''_2&=\underbrace{-k_2(y_2-y_1)}_{\text{Hooke's Law from above}} \end{align} que es lineal acoplado sistema en $y_1$$y_2$.

A ver cómo de Hooke la Ley conduce a estos términos, primero desplazar la masa de $m_1$ $y_1$ unidades (tomando "abajo" como la dirección positiva). Luego de Hooke la Ley, dice la primavera 1 tiene una fuerza de restauración de $-k_1y_1$. Ahora tire de la masa de $m_2$ $y_2$ unidades. Desde el desplazamiento total de la masa de $m_2$ a partir de su posición de equilibrio es $y_2-y_1$, esto se explica con la Ley de Hooke plazo $-k_2(y_2-y_1)$ en la segunda ecuación. Por último, a ver si la segunda Ley de Hooke término de la primera ecuación viene, apenas se nota que va a ser la misma fuerza que hemos encontrado para la segunda masa, $-k_2(y_2-y_1)$, pero cuando se actúa sobre la primera misa, que será en la opuesta dirección, por lo que será $-k_2(y_1-y_2)$, con lo cual podemos escribir como $+k_2(y_2-y_1)$ si usted lo prefiere.