Cálculo funcional para integrales directos

Question

Supongamos que tengo un directo integral de espacios de Hilbert $H = \int^\oplus H_x dx $, y supongamos que tengo un operador $T: H \to H$ que es descomponible, y así puede ser escrito como $T = \int^\oplus T_x$ para algunos medibles campo de los operadores de $T_x$. Supongamos además que cada $T_x$ es uno mismo-adjoint (y también lo $T$ es auto-adjunto), y deje $f$ ser un acotado medible de la función en $\mathbb R$.

¿Bajo qué condiciones se $f(T)$ es descomponible (supongo que siempre) y es igual a la integral del campo $f(T_x)$ ?

Un papel que dice algo acerca de este problema es Chow, nabo blanco [gilfeather], "las Funciones de dirigir las integrales de los operadores". De hecho los estados que la única condición necesaria es que la $T_x$ son contracciones. Pero por desgracia yo no entiendo a este papel, ya no es el estado de sus supuestos, muy precisamente - por ejemplo, no parece que se asume que el operador $T$ (o los operadores de $T_x$) es (son) normal, así que no se qué tipo de funcionales de cálculo se considera.

Answer 1

Si desea simplemente para dar una breve discusión con posibles referencias de conocidos los resultados, se puede proceder de la siguiente manera: se elige una secuencia $p_n$ de los polinomios de la convergencia a la $f$ en la débil medida de la topología en la Borel funciones; a continuación, $p_n(T)$ converge a $f(T)$ incluso fuertemente (ver, por ejemplo, Helemski. Conferencias y ejercicios en el análisis funcional, p. 388). Como $p_n(T)$ conmutado con cada diagonal operador, $f(T)$ no conmutan, y por lo tanto es descomponible (Dixmier. Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien, Thm. II.2.5.1), decir, como $\int^\oplus S_x d\nu(x)$. Ahora, hay una larga $p_{n_k}$ tal que $p_{n_k}(T_x)$ converge fuertemente a $S_x$ $x$-en casi todas partes (Dixmier, Prop. II.2.3.4), por lo $S_x=f(T_x)$ en casi todas partes.

Answer 2

Su conjetura de que siempre es descomponible es correcta. Aquí es una manera de ver esto sin verificar la espera de la fórmula: Borel funcional cálculo mantiene dentro de la von Neumann álgebra generada por $T$, y el conjunto de descomponible operadores en $H$ es la de von Neumann álgebra de operadores que conmutan con la diagonal operadores en $H$ (Kadison-Ringrose 5.2.8, Takesaki 8.16; véase también el K-R 14.1.10 que no tiene Google vista previa).

(Sin embargo, no sé de referencia (o prueba) de que la espera fórmula es correcta. Creo que debería seguir por Fubination una vez que el caso de funciones características es conocido).

Answer 3

Yo quería hacer un comentario a Jonas respuesta, pero el sistema no me permite (porque es demasiado largo?)

Yo podría estar obligado a escribir mi propia prueba de la espera de la fórmula. ¿Qué piensa usted sobre el dibujo siguiente? El mensaje es claro para los polinomios. A continuación, tomar una secuencia de polinomios $p_n$ convergen de alguna manera a $f$ (¿Cómo?). Esto debería implicar que $p_n(T)$ converge débilmente a $f(T)$ y de manera similar para$p_n(T_x)$.e. $x$. Ahora uno necesita comprobar que $f(T_x)$ es un medibles de campo, es decir, si $lim_n (p_n(T_x)v_x,w_x)$ converge a una función medible siempre $v_x, w_x$ son medibles vecotr campos. Pero este límite es el mismo que $lim_n ([p_n(T)]_xv_x,w_x) = ([f(T)]_xv_x,w_x)$, debido a que por su argumento sabemos que $f(T)$ es descomponible (hay algún argumento que aquí se necesitan). A la espera de la fórmula, a continuación, tiene el mismo razonamiento y la singularidad de los débiles límite.