Probar o contraejemplo: Si A es un anillo conmutativo y$A_p$ es un álgebra generada finitamente sobre A para todo ideal primo p de A, entonces A es un producto de anillos locales.
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Damian Powell
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En el caso de que $A$ es noetherian y sustituimos finitely generado como un álgebra con finitely generado como un módulo se puede argumentar de la siguiente manera. Tenemos para cualquier elección de un mínimo de prime ideal $P$ $\mathrm{Spec} A$ que $A_P$ plano y finitely presentada por tanto proyectivas. También es un artinian anillo local. Como es proyectiva de la correspondiente gavilla es localmente libre en $\mathrm{Spec} A$. Pero $$\mathrm{Supp} A_P = \mathrm{Spec} A_P$$ así que si $\mathrm{Spec} A$ estaban conectados tendría que estar de acuerdo con el espectro de $A_P$ desde un nivel local libre gavilla tiene rango constante de los componentes conectados. Por lo tanto $A$ es en el hecho de artinian y local. $$ $$ Si $A$ no tiene conectado el espectro entonces podemos reescribir $A$$A_P \times A_1$. Donde $A_P$ no dividen a todos. Nosotros, a continuación, sólo seguir jugando el mismo juego (junto con $A_1$) que termina desde $A$ es noetherian así que tiene un número finito de componentes conectados, y en el hecho de ver que $A$ es un producto de artinian local de los anillos.
La hipótesis más fuerte que tengo son probablemente sólo algo necesario. Yo no veo un problema (salvo que uno necesita para quitar la palabra artinian) si uno asume que las localizaciones son finitely presentan como módulos - ahí está la cuestión de si es o no termina, pero si usted tiene un infinito de productos que también recoger extra prime ideales a través de la elección y no tengo idea de lo que la localización en una de esas se vería, así que no estoy muy seguro de si esto causa problemas.
bradtgmurray
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Creo que es correcto. Puesto que la localización A_p es finitamente generada sobre A para cualquier ideal primo p, A tiene sólo ideales finitos máximos. Ahora A es un anillo semi-local, que es también un producto de los anillos locales. El siguiente enlace puede ser útil http://www.mathreference.com/ring-jr,sloc.html
Aquí es un contraejemplo. Sean p y q ser distintos números primos, vamos a denotar el complemento de {p,q} en el conjunto de todos los números primos, y dejar Un denotar Z[1/S]. A continuación, el primer ideales de Un son pA, qA, y {0}, el primero de los cuales dos son máximas. Además, como es de dominio (por ser un sub-anillo de Q), con dos máximos ideales, no es un producto de los locales de los anillos. Por otro lado, el local de los anillos en los distintos primer ideales son a[1/q], [1/p], y[1/p 1/q], que son claramente finitely generado como a-álgebras.
