Nota: en caso de que usted, como yo, estaban confundidos por la notación, el autor parece utilizar la $A$ a referirse a la totalidad de la esfera, no sólo la parte de color azul.
Pregunta 1: El azul de la imagen, y todas las imágenes generadas en cada finito etapa del proceso, tienen sin agujeros. El azul de la imagen es la incorporación de la $S^2$ a $\mathbb{R}^3$ dado por tomar la estándar, se dibujan dos círculos, y "tirar" de ellos para crear los "tiradores" en la imagen. Nada se le escapa en el proceso, y se puede deshacer por el acortamiento de los bordes de la manija hasta que los círculos son una vez más al ras con la superficie. (Tenga en cuenta que este proceso implica "esquinas", como dibujado, pero es fácil alrededor de ellos y así conseguir algo suave). El proceso de animación aquí.
Pregunta 2: tienes el derecho de tener el cuidado de que el papel de acercarse a un límite de aquí. La Cornuda de Alexander Esfera en sí misma es una ilustración de lo que puede ir mal por la toma de un proceso hasta el infinito. Tenga en cuenta que en cada finito etapa de su proceso de construcción, esta inclusión es en realidad equivalente a la normal! (Imaginar smushing las manijas de nuevo en la esfera de retroceder un paso, y seguir haciendo esto hasta llegar de nuevo al punto de partida). En particular, en cada finito etapa, en el exterior de la esfera es de. Sin embargo, no es demasiado difícil ver que el bucle $L$ queda fuera de la esfera, incluso en el límite. Esto es debido a que en cada finito etapa, la cantidad de espacio en $\mathbb{R}^3$ donde las cosas están cambiando es menor. Usted puede dibujar un poco de $3$-dimensiones de la bola de $B$ alrededor del bucle $L$ de manera tal que en cada etapa pasada la primera, nada cambia dentro de esta bola. En símbolos, si $A_n$ es la esfera obtenido en la $n^{th}$ etapa del proceso, a continuación, $B \cap A_n = B \cap A_1$ todos los $n \geq 1$. Esto significa que, desde $L \subset B$, $$L \cap A_n = (L \cap B) \cap A_n = L \cap (B \cap A_n) = L \cap (B \cap A_1) = (L \cap B) \cap A_1 = L \cap A_1 = \emptyset$$.
Pregunta 3: en Primer lugar, vamos a ver por qué el disco de $D$ es importante. Un bucle de $L$, en un espacio de $X$ debe ser pensado como una función continua $\gamma: S^1 \rightarrow X$. (Aclaración aquí: no se requieren $\gamma$ a ser una incrustación y permitir la auto-intersecciones). A continuación, una deformación de " $L$ a un punto de $x \in X$ es exactamente un mapa de $\Gamma: S^1 \times [0,1] \rightarrow X$ tal que $\Gamma(s, 0) = \gamma(s)$ $\Gamma(s, 1) = x$ todos los $s$. Se supone que se debe pensar en ella como una variación continua de la familia de los bucles $\gamma_t(s) = \Gamma(s,t)$. Para cada uno de ellos fijo $t$, el cambio de la $s$ variable describe un bucle. Para $t = 1$, esta es la constante en bucle en el punto de $x$. Ahora, desde la $\gamma_1(s)$ es una función constante en $s$, podemos pensar de $\Gamma$ como el hecho de ser definido en $D$, como sigue:
Usando coordenadas polares en $D$, podemos escribir $d \in D$$(r, \theta)$$r \in [0,1]$$\theta \in S^1$. Podemos definir a la $\tilde{\Gamma}: D \rightarrow X$$\tilde{\Gamma}(d) = \Gamma(1-r, \theta)$. Desde $\Gamma(1, \theta)$ es constante en $\theta$, esto es bien definida y continua.
Por lo tanto, podemos suponer que por la vía de la contradicción que existe alguna función $F: D \rightarrow \mathbb{R}^3 \setminus A$ de manera tal que, en coordenadas polares, el mapa de $\gamma: S^1 \rightarrow X$ descrito por $\gamma(\theta) = F(1, \theta)$ coincide con $L$. Ahora, como se indica en el texto, hay un cierto número de $\epsilon > 0$ tal que para cada punto de $y \in F(D)$, la distancia entre el $y$ y cada punto de $a \in A$ al menos $\epsilon$. (Esto es debido a que tanto $A$ $F(D)$ son compactas y no se cruzan por supuesto). Este número $\epsilon$ depende de $F$, pero no en $y$$a$. Sin embargo, estamos asumiendo que hay una cierta fija $F$ que satisfechos con nuestra hipótesis. Ahora, para cada esfera de $A_n$, se puede ver al observar la imagen que la única manera de reducir el bucle $L$ a un punto se mueve a través de los pequeños huecos en la imagen. En particular, la imagen del disco dado por esta deformación se incluyen algunos puntos dentro de poco vacíos. (Como una mano-ondulado explicación, pensar sobre el hecho de que $L$ tiene algunos puntos "bajo" el más grande de manejar y algunos puntos "de más". Con el fin de reducir a un punto, tenemos que poner el "bajo" partes de arriba o "por encima" de las piezas de abajo). Ahora en cada finito etapa, este no es un problema: siempre podemos elegir un disco lo suficientemente pequeño como para obtener a través de la más pequeña brecha. Sin embargo, para el pleno limitar la construcción de $A$, no hay más brecha; las asas están entrelazados tan estrechamente que cualquier brecha sería menor que $\epsilon$ cualquier $\epsilon$ alguna. Por supuesto, esto es imposible realmente visualizar, así que es más fácil convencer a ti mismo con una limitación de argumento. Mediante el dibujo de cada una de las $A_n$ cuidadosamente, usted puede organizar de tal forma que la distancia entre los dos lados de la pequeña brecha en $A_n$ es menos de la mitad de la distancia en el paso anterior. Por lo tanto, la limitación del tamaño de las pequeñas lagunas es de menos de $\frac{1}{2^n}A_1$ todos los $n$, y por lo tanto es $0$! En particular, hay algunos finito etapa $A_n$ de manera tal que la brecha en $A_n$ es menor que el $\epsilon$ fijado anteriormente. Ya que el tamaño de la brecha en el límite es menor que el tamaño de la brecha en cada finito etapa, esto también está a menos de $\epsilon$. Pero desde $F(D)$ tiene que contener algunos puntos del interior de la pequeña brecha, que ha de contener un punto de $y$ tal que $y$ está dentro de la distancia $\epsilon$ de la pared, una contradicción.
Este es un extraño y un tanto inquietante de la construcción. Es un poco difícil de creer que este limitando el objeto de que realmente existe, y que es todavía una incrustación de $S^2$. Se toma un poco más de argumento para demostrar que esto es cierto; ver aquí. (¿Alguien sabe de un "canónica" de referencia para este hecho?)
