Densidad de la suma de dos variables aleatorias uniformes$[0,1]$

Question

Estoy tratando de entender un ejemplo de mi libro de texto.

Digamos que$Z = X + Y$, donde$X$ y$Y$ son variables aleatorias uniformes con rango$[0,1]$. Entonces el PDF es $$ f (z) = \begin{cases} z & \text{for %#%#%} \\ 2-z & \text{for %#%#%} \\ 0 & \text{otherwise.} \end {cases} $$

¿Cómo se obtuvo este PDF?

Gracias

Answer 1

Si queremos utilizar una convolución, vamos a $f_X$ ser la función de densidad de$X$, y deje $f_Y$ ser la función de densidad de $Y$. Deje $Z=X+Y$. Entonces $$f_Z(z)=\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,dx.$$

Ahora vamos a aplicar esta fórmula general para nuestro caso particular. Tendremos $f_Z(z)=0$$z\lt 0$, y también para $z\ge 2$. Ahora tenemos que hacer con el intervalo de$0$$2$. Es útil para romper este en dos de los casos (i) $0\lt z\le 1$ y (ii) $1\lt z\lt 2$.

(i) El producto de $f_X(x)f_Y(z-x)$ $1$ en algunos lugares, y $0$ en otros lugares. Queremos asegurarnos de evitar llamarlo $1$ cuando se es $0$. Con el fin de tener $f_Y(z-x)=1$, tenemos $z-x\ge 0$, $x\le z$. Así, por (i), vamos a ser la integración de$x=0$$x=z$. Y fácilmente $$\int_0^z 1\,dx=z.$$ Por lo tanto $f_Z(z)=z$$0\lt z\le 1$.

(ii) Suponga que el $1\lt z\lt 2$. Con el fin de tener $f_Y(z-x)$$1$, tenemos $z-x\le 1$, es decir, tenemos $x\ge z-1$. Así, por (ii) integramos de$z-1$$1$. Y fácilmente $$\int_{z-1}^1 1\,dx=2-z.$$ Por lo tanto $f_Z(z)=2-z$$1\lt z\lt 2$.

De otra manera: (Croquis) podemos ir después de la cdf $F_Z(z)$$Z$, y luego se diferencian. Así que tenemos que encontrar $\Pr(Z\le z)$.

Para un par de fijos $z$ de los valores, dibujar las líneas con la ecuación de $x+y=z$ x-y eje de la trama. Dibujar el cuadrado de $S$ con esquinas $(0,0)$, $(1,0)$, $(1,1)$, y $(0,1)$.

A continuación, $\Pr(Z\le z)$ es el área de la parte $S$ que está "debajo" de la línea de $x+y=z$. Que el área puede ser calculada usando la geometría básica. Por ejemplo, cuando z es 2, toda la zona de la plaza se encuentra bajo la línea de modo Pr=1. Hay un interruptor en la forma básica en $z=1$.