¿Problema interesante con el taxi?

Question

Se me ocurrió este problema después de discutir la geometría de los taxis en clase de matemáticas... Pensé que era un problema sencillo, pero bastante ingenioso; sin embargo, todavía no estoy seguro de si mi respuesta es correcta o lógica.

Sea $[X]$ sea el área de la región $X$ y región $S_n$ representarse mediante la ecuación $|x-n|+|y-n|=k-n$ para todos $n=0,1,2,\ldots,k-1$ . Ahora dejemos que la región $R_n$ sea la región comprendida entre $S_n$ et $S_{n+1}$ et $L=\displaystyle\sum_{n=0}^{k-2}{[R_n]}$ . Hallar el menor número entero positivo $k$ tal que $L > A$ . ( $A$ es cualquier número que puedas introducir)

¿Puede alguien verificar mi resultado de $L=\frac{5k^2-k-4}{2}$ ?

Answer 1

(diagrama para k=10)

Cada región $S_n$ es un cuadrado con lados de pendiente $\pm 1$ , centro en $(n,n)$ y longitud lateral $\sqrt{2}(k-n)$ . Cada par de casillas sucesivas se coloca de forma que $S_{n+1}$ se solapa en su mayor parte $S_n$ pero no del todo. Como los vértices superior y derecho de cada cuadrado están, respectivamente, en la misma línea horizontal y vertical y a 1 unidad de distancia (los centros de los cuadrados sucesivos se desplazan 1 unidad hacia arriba y 1 unidad hacia la derecha), la región rectangular de $S_{n+1}$ que no está dentro $S_n$ sobresale por $\frac{1}{\sqrt{2}}$ y tiene una longitud igual a la longitud lateral de $S_{n+1}$ que es $\sqrt{2}(k-(n+1))$ por lo que esta región rectangular tiene un área $k-n-1$ . Así, $$\begin{align} [R_n]&=(\text{area of }S_n)-(\text{area of }S_{n+1})+(\text{area of rectangular region}) \\\\ &=2(k-n)^2-2(k-n-1)^2+k-n-1 \\\\ &=5k-5n-3. \end{align}$$ Ahora,

$$\begin{align} \sum_{n=0}^{k-2}[R_n]&=\sum_{n=0}^{k-2}(5k-5n-3) \\\\ &=5k\sum_{n=0}^{k-2}1-5\sum_{n=0}^{k-2}n-3\sum_{n=0}^{k-2}1 \\\\ &=5k(k-1)-5\left(\frac{(k-2)(k-1)}{2}\right)-3(k-1) \\\\ &=\frac{10k^2-10k-5k^2+15k-10-6k+6}{2} \\\\ &=\frac{5k^2-k-4}{2}. \end{align}$$