Simétrica y la cuña del producto en el álgebra y la geometría diferencial

Question

He estado luchando con este problema por un tiempo (y le pidió a una pregunta similar aquí), pero aún no se encuentra una respuesta satisfactoria.

La cuestión se reduce a: que es la identidad correcta?

1. $dx \, dy = dx \otimes dy + dy \otimes dx$ $~~~$o$~~~$ $dx \, dy = \dfrac{dx \otimes dy + dy \otimes dx}{2}~$?
2. $dx \wedge dy=dx \otimes dy - dy \otimes dx$ $~~~$o$~~~$ $dx \wedge dy=\dfrac{dx \otimes dy - dy \otimes dx}{2}~$?

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Aquí está mi comprensión de la cuestión desde el punto de vista de:

Álgebra lineal:

Deje $V$ ser un espacio vectorial. El álgebra simétrica $S(V)$ es el cociente del tensor de álgebra $T(V)$. La simetría del producto $v \cdot w$ de los elementos de $V$ no tiene sentido un a priori en $T(V)$, pero uno puede identificar a $S(V)$ con el espacio de tensores simétricos, que es un subespacio de $T(V)$ cuando la restricción de la proyección cartográfica $T(V) \to S(V)$ es un isomorfismo. En virtud de este isomorfismo, de la simetría del producto $v \cdot w$ corresponde al elemento $\dfrac{v \otimes w + w \otimes v}{2}$$T(V)$. La misma historia de el exterior álgebra $\Lambda(V)$ y la alternancia de los tensores: la cuña de producto $v \wedge w$ se identifica con la alternancia de tensor $\dfrac{v \otimes w - w \otimes v}{2}$.

Por lo contrario a lo que he leído en diferentes lugares (por ejemplo, aceptado respuesta aquí), en mi humilde opinión, no hay una forma natural para identificar simétrica productos simétricos tensores (resp. cuña de productos para la alternancia de los tensores)¹. Conclusión: al menos desde el algebraicas punto de vista, me parece que lo natural es decir:

1. $dx \, dy = \dfrac{dx \otimes dy + dy \otimes dx}{2}$
2. $dx \wedge dy = \dfrac{dx \otimes dy - dy \otimes dx}{2}$

La geometría diferencial:

De nuevo, me siento como sólo hay una opción que nos interesa destacar aquí, contrariamente a lo que he leído a veces:

1. $dx \, dy = \dfrac{dx \otimes dy + dy \otimes dx}{2}$, debido a $dxdx + dydy = dx^2 + dy^2 $ debe ser el estándar métrico (o la parte interna del producto) en $\mathbb{R}^2$ (¿quién querría $dx^2 + dy^2$ a significar algo más?)
2. $dx \wedge dy = dx \otimes dy - dy \otimes dx$ porque $dx \wedge dy$ debe ser el estándar de la zona forman (o determinante) en $\mathbb{R}^2$ (de nuevo, ¿quién querría $dx \wedge dy$ a la media de algo más^{de 2} ?).

Por desgracia, la respuesta 2. es diferente de lo que hemos encontrado a partir de la algebraicas punto de vista. Peor aún, las decisiones tomadas por el simétrico del producto y de la cuña de producto no parecen ser coherentes!

Hace sentir a alguien como (s)tiene una forma satisfactoria para entender este problema? (o soy yo el único que está siendo impulsado loco por esta tontería!)

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¹ como he tratado de explicar brevemente. Dicho de otra manera, es natural que se pregunte a que la identificación de $\mathrm{Sym}^2 V \stackrel{\sim}{\to} S^2V$ se debe a la restricción de la proyección cartográfica $p: V\otimes V \to S^2V$. (La misma historia de la cuña de producto).

² Dicho de otra manera, cuando uno define la integración de formas diferenciales, la integración de $f(x, y)\, dx \wedge dy$ debe producir la integral de Lebesgue $\int f(x,y) dx\,dy$. No creo que nadie utiliza una convención diferente (?). Otra observación: en el complejo de la geometría diferencial, lo que me parece más natural la identidad entre un Kähler Hermitian métrica $h$, la métrica de Riemann $g$ y el Kähler forma$\omega$$h = g - i\omega$. Intente $h = dz \otimes d\overline{z}$: a continuación,$g = dx \otimes dx + dy \otimes dy$$\omega = dx \otimes dy - dy \otimes dx$. Es bueno escribir $g = dx^2 + dy^2$$\omega = dx \wedge dy$, en particular, la Kähler forma es el área de la forma de la métrica de Riemann.

Answer 1

La motivación para el coeficiente de $\frac{1}{n!}$ es la siguiente : si $f : V\times...\times V\to\mathbb{K}$ es n-lineal y de forma alternativa, podemos definir el alternador $\mathrm{Alt}$, de modo que $\mathrm{Alt}(f)=f$. Que es $$f(x_1,...,x_n)=\frac{1}{n!}\sum_{\sigma\in S_n}\varepsilon(\sigma)f(x_{\sigma(1)},...x_{\sigma(n)})=\mathrm{Alt}(f)(x_1,...,x_n).$$

Answer 2

Debido a la similitud entre simétrica del tensor del producto y de la cuña de producto, voy a hablar sólo de la cuña del producto aquí. Es común ver a los dos definiciones de cuña de producto en diferentes libros de texto.

Dadas dos formas diferenciales $\alpha\in\bigwedge^p(V)$$\beta\in\bigwedge^q(V)$, podemos definir el producto exterior como

1. $\displaystyle \alpha\wedge\beta=Alt(\alpha\otimes\beta)$

Esta definición, que es coherente con su algebraicas punto de vista, al parecer, tiene su propio algebraicas simplicidad. Por lo general, es utilizado para derivar las propiedades y las identidades acerca de formas diferenciales.

2. $\displaystyle \alpha\wedge\beta=\frac{(p+q)!}{p!q!}Alt(\alpha\otimes\beta)$

Esta definición se ve sobre todo en la física, la literatura, porque es más que la naturaleza se corresponden con significado físico, especialmente por el volumen. Otra ventaja de esta definición es cuando computación producto interior de dos $p$-los formularios, es de una elegante expresión de $$\left< u_1\wedge\cdots\wedge u_p, v_1\wedge\cdots\wedge v_p\right>=\det(\left<u_i,v_j\right>)$$ sin un molesto coeficiente antes de que el factor determinante, si la primera definición se utiliza.

Esencialmente, dos definiciones de la cuña de producto, o dicen exterior del producto, dar dos diferentes exterior álgebras, pero sólo uno hasta algebraicas isomorfismo. En el punto de vista de la categoría de teoría, exterior álgebra pueden ser definidos mediante el uso universal de la propiedad, lo que significa que no importa cómo se define el exterior de productos para el álgebra, sin imponer más restricciones, todas estas álgebras puede ser isomorphically la asignación a cada uno de los otros.

Así, yo no lo diferentes definiciones como una molestia, ya que son la misma cosa y no hay canónica de manera de dar una definición canónica. Igual no te importa si un ángulo expresa como grados o radianes.