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Question

Este es un problema de tarea para un segundo curso de análisis complejo. He hecho un buen golpe de cabeza y todavía no estoy seguro de cómo solucionarlo, así que podría estar perdiendo algo aquí. La tarea es mostrar$$\int_0^{2\pi} \log|1-ae^{i\theta}|d\theta=0.$ $

Así que de inmediato, podemos dejar que$z=e^{i\theta}$ así que$$\int_0^{2\pi} \log|1-ae^{i\theta}|d\theta=\int_{|z|=1} \log|1-az|\frac{dz}{iz}=-i\int_{|z|=1} \log|1-az|{dz}.$ $

Después de que no estoy seguro si el uso del teorema de residuos es el camino a seguir?

Answer 1

Insinuación:

Tenga en cuenta que$\log|1-ae^{i\theta}|$ es la parte real de$\log(1-ae^{i\theta})$. A continuación, intente diferenciar con respecto a$a$. Observe entonces que la integración en torno al círculo de unidad $ \ frac1i \ oint \ frac {\ mathrm {d} z} {1-az} = 0 $$ cuando$|a|<1$.

Answer 2

Considere la función$\log(1-a\,z)$ y piense en el valor medio.