Cálculo de una integral de Lebesgue con la función de Cantor

Question

Me encontré con el siguiente problema desafiante que tiene que ver con la evaluación de una integral de Lebesgue en lugar de pedir que se demuestre algo sobre ella:

Dejemos que $\varphi: [0,1] \rightarrow [0,1]$ sea la función de Cantor (ternaria), y sea $m_\varphi$ sea la medida de Lebesgue-Stieltjess asociada a ella. Sea $f(x) = x$ . Evaluar $$\int_{[0,1]} f \; dm_\varphi.$$

Un amigo me sugirió que si se estudia esta integral en Mathematica, su valor es bastante grande, pero tengo problemas para pensar en cómo proceder en el cálculo del valor sin un paquete de álgebra computacional. Publico esta pregunta con la esperanza de que cualquiera que me visite encuentre el problema curioso también, y para ver si alguien que me visite tiene alguna sugerencia sobre cómo proceder en el cálculo.

Answer 1

Esta es una forma geométrica de entender la solución. Dado que la integración de Lebesgue comienza construyendo una función a partir de funciones simples, construye una secuencia de funciones simples que se aproxime a la función de Cantor desde abajo. Esto no sería muy difícil de hacer, aunque la notación es un poco engorrosa. La idea básica es la siguiente:

$\varphi_1(x) = \frac121_{[1/3,2/3]}(x)$

$\varphi_2(x) = \varphi_1(x) + \frac141_{[1/9,2/9]}(x) + \frac341_{[7/9,8/9]}(x)$

$\varphi_3(x) = \varphi_2(x) + \frac181_{[1/27,2/27]}(x) + \frac381_{[7/27,8/27]}(x)+\frac581_{[19/27,20/27]}(x) + \frac781_{[25/27,26/27]}(x)$

La primera $\varphi_1$ es simplemente la parte central de la función, y luego cada una de las siguientes $\varphi_n$ añade en las partes directamente entre $\varphi_{n-1}$ . Obsérvese que cada una de las funciones es una especie de promedio para $\frac12$ . Sus integrales son

$\int \varphi_1 \ dm = \frac12\cdot\frac13$

$\int \varphi_2 \ dm = \frac12\cdot\frac13 + \frac19(\frac14+\frac34) = \frac12\cdot\frac13+\frac19$

$\int \varphi_3 \ dm = \frac12\cdot\frac13+\frac19 + \frac1{27}(\frac18+\frac38+\frac58+\frac78) = \frac12\cdot\frac13+\frac19+2\cdot\frac1{27}$

Entonces se deduce que $\int\varphi_n\ dm = \frac16\sum_{j=1}^n \left(\frac23\right)^j \to \frac16\cdot\frac{1}{1-\frac23}=\frac12$

Answer 2

El valor de la integral es $\frac{1}{2}$ por simetría.

Observe que $\varphi(1-x) = 1 - \varphi(x)$ . A partir de esto, es fácil demostrar que la medida de Cantor $m_\varphi$ es invariante bajo la transformación $x \mapsto 1-x$ . Así, $$\int x\, m_\varphi(dx) = \int (1-x)\, m_\varphi(dx) = 1 - \int x\,m_\varphi(dx).$$