Números complejos algebraicos$z$ que satisfacen las ecuaciones$z^n+\bar{z}^n = z+\bar{z}$ para todos los$n$

Question

¿Existe un número complejo$z$ tal que$z\neq 0,1$ y$z^n +\bar{z}^n = z+\bar{z}$ para todos los enteros positivos$n$?

¿Existe un número complejo algebraico$z$ tal que las propiedades anteriores se mantienen?

La existencia de un número tan complejo me sorprendería.

Answer 1

Si usted escribe $z = re^{i\theta}$, a continuación, busque $z$ que $r^n\cos(n\theta) = r\cos(\theta)$ todos los $n$. Si $0 < r < 1$$|r^n\cos(n\theta)| \rightarrow 0$, pero no todos los $r^n\cos(n\theta)$ son cero, una contradicción, ya que son todos el mismo, mientras que si $r > 1$ luego de una larga de $\{|r^n\cos(n\theta)|\}$ va al infinito. Así que usted sólo puede tener $r = 0$ o $r = 1$.

$r = 0$ resuelve (aquí $z = 0$), por lo que permanece para ver el $r = 1$. En este caso, a menos que $\theta = 0$, $\cos(n\theta)$ diverge (oscila) como $n \rightarrow \infty$, lo $\theta$ debe ser cero aquí. En este caso,$z = re^{i\theta} = 1$.

Por lo tanto, usted tiene dos soluciones, $z = 0$$z = 1$.

Answer 2

Nope. Entre slick algebraica de las pruebas, mientras que sin duda aparecen momentáneamente de los demás:

En primer lugar, es fácil comprobar esas son las únicas soluciones reales: Si $z$ es real, entonces la ecuación se requiere $2z^n=2z$ todos los $n$, lo que da $z=0$ o $z=1$. Ahora volvemos a la solución de la ecuación $\Re(z^n)=\Re(z)$ si $z$ no es real. Desde $z$ no es real, entonces, ciertamente,$\arg(z)\neq 0$, y así, es fácil argumentar que las potencias $z^n$ oscilan entre la izquierda y la derecha mitades del plano complejo. Por lo $\Re(z^n)$ oscila entre positivo y negativo (y/o cero), donde como $\Re(z)$ no.

Answer 3

He aquí una derivación puramente algebraica. Escribir $\ell=z+\bar{z}$. Investigar cuadrados y cubos:

ps

ps

ps

ps

Ahora$$\color{Blue}{\ell^2=}(z+\bar{z})^2=z^2+2z\bar{z}+\bar{z}^2=\color{Blue}{\ell+2}\color{Red}{r^2} \tag{1}$ corresponde a$$\ell=z^3+\bar{z}^3=\ell(z^2-z\bar{z}+\bar{z}^2)=\ell(\ell-r^2) $ y$$\implies \color{Red}{r^2=\ell-1} \tag{2}$ corresponde a$$\color{Blue}{\ell^2=\ell+2}\color{Red}{(\ell-1)} \implies \ell\in\{1,2\} \tag{1+2}$ porque es el único número con magnitud y parte real igual a uno.