Pregunta sobre la relación entre dos constantes de tiempo

Question

Yo no soy químico, pero un neurocientífico, así que tengan paciencia conmigo. He luchado con este problema durante más de una semana y ahora se han dado cuenta de que es un producto químico que se trate. Voy a tratar de explicarlo para que no neurociencia de fondo es necesario.

Estoy tratando de ajustar un modelo a los datos experimentales. Los datos se describe cómo un canal que se abre y se cierra en respuesta a un cambio en el potencial de membrana de la célula del canal se encuentra en. Esta es capturado en dos conjuntos de datos:

• La fracción de canales abiertos en equilibrio para diferentes valores del potencial de membrana (un ejemplo de un gráfico de esto se puede encontrar aquí. Esta fracción que yo llamo G/G$_{max}$
• La constante de tiempo que describe el tiempo que tarda la fracción llegar a su equilibrio. Esta constante de tiempo llamo a $\tau_{G/G_{max}}$

Se cree que para cada canal abierto, 4 puertas tienen que estar en 'abrir' el estado. Es decir, se piensa que:

G/G$_{max}$ = n$_{\infty}^4$

La puerta de n, también puede ser descrito por su fracción de estado abierto/total. Las tasas de n se mueven entre estos dos estados son descritos por $\alpha_n$$\beta_n$. Una vez que hay cuatro puertas en el estado abierto, el canal es instantáneamente abierto. Si trato de describir esto en una reacción química, me imagino algo como:

$$\ce{C_n <=>[\alpha_n][\beta_n] O_n}$$

donde $C_n$ $O_n$ representan 'cerrado' y 'abierto' n-puertas respectivamente. Y

$$\ce{4\cdot O_n <=>[instant][instant] O_{ch} }$$, donde $O_{ch}$ describe todo el canal está abierto.

Ahora es la información que yo tengo para G/G$_{max}$(V) y $\tau_{G/G_{max}}$ (esta es la única cosa que los experimentadores pueden medir). Sin embargo, para modelar este comportamiento, necesito $\alpha$(V) y $\beta$(V). Ya sé que

$n_{\infty} = (G/G_{max})^{1/4}$

pero no puedo averiguar cómo $\tau_n$ $\tau_{G/G_{max}}$ están relacionados unos con otros. Aunque la reacción 4O --> canal abierto es instantáneo, la forma de abordar el equilibrio es diferente, y por lo tanto el punto de cruz 1-1/e, sería así. n alcanza su equilibrio con una sola exponencial, mientras que el G/G$_{max}$ alcanza con una exponencial a la cuarta potencia.

Creo que la respuesta debería ser muy simple, y sólo debe depender de la 4-esima potencia.

Espero que mi pregunta es clara, pero si hay más detalles que ayuden a resolver esto estoy más que feliz para aclarar algunos puntos.

Edit: Aquí es un gráfico que muestra cómo el 'medido' constante de tiempo y el de la diferencial de la variable n diferentes. También, se muestra que no hay una relación lineal.

Para ser claros acerca de lo que hice:

El sistema diferencial que describe este modelo se ve como: G/G$_{max}$ = n$^4$ con $\frac{dn}{dt} = \alpha_n(V)(1 - n_{\infty}(V)) - \beta(V) n_{\infty}(V)$

Como una de las respuestas señaló (tipo de), una solución de este sistema con la condición inicial V1 es:

$n(t) = n_{\infty}(V) \cdot e^{-(\alpha_n(V) + \beta_n(V))} + n_{\infty}(V) \cdot \Big(1 - e^{-(\alpha_n(V) + \beta_n(V))}\Big)$

y así

$G/G_{max}(t) = n(t)^4$

Para encontrar el $\tau$ de cualquiera de estas líneas (la constante de tiempo, siendo el tiempo que se tarda en llegar a $1-1/e \cdot$(valor final) (ver enlace), he trazado:

$\frac{n - min(n)}{max(n) - min(n)}$

y

$\frac{n^4 - min(n^4)}{max(n^4) - min(n^4)}$

Answer 1

Creo que he entendido tu pregunta ahora. Voy a reformular en más 'química' términos y doy mi solución. No bien formateada por ahora, voy a hacer que más tarde, si encuentro el momento.

Usted tiene un celular con $G_{max}$ puertas. Se puede abrir y cerrar de forma reversible, dependiendo de la tensión V. Cerrada de apertura de puertas con velocidad constante $\alpha(V)$, y abrir puertas de la cerca con la constante de la tasa de $\beta(V)$.

Esto implica una ecuación diferencial. Si $G_o$ es el número de puertas abiertas en el momento t, y $G_c$ es el número de compuertas cerradas en el tiempo t, entonces:

$\frac {dG_o}{dt} = \alpha G_c - \beta G_o$

Y como el número total de puertas es $G_{max} = G_o + G_c$:

$\frac {dG_o}{dt} = \alpha (G_{max} - G_o) - \beta G_o$

En estado estacionario, es decir, cuando se $G_o$ deja de cambiar, se tiene:

$\frac {dG_o}{dt} = \alpha (G_{max} - G_o) - \beta G_o = 0$

que, resuelto por $G_o/G_{max}$, se obtiene:

$\frac {G_o}{G_{max}} = \frac {\alpha}{\alpha + \beta}$

La relación de $G_o/G_{max}$ es la probabilidad de que una sola puerta está abierta. Como usted dice, un "canal" está abierto al 4 de sus puertas están abiertas. Si consideramos que cada puerta está abierta o cerrada de forma independiente, la probabilidad de que 4 puertas en un canal abierto es, de hecho, $(G_o/G_{max})^4$

Lo que se mide es el tiempo que tarda, cuando el voltaje se cambia abruptamente a partir de un valor inicial hasta un valor final, para el número de canales abiertos para ir de un valor inicial de "equilibrio". Este tiempo es, en teoría, infinito, pero en la práctica es probablemente el tiempo necesario para que el número de abrir las puertas para ir de su valor de estado estacionario en la tensión de $V_1$, a un valor lo suficientemente cerca para que el nuevo valor de estado estacionario en la tensión de $V_2$.

Si es así, es suficiente para resolver la anterior ecuación diferencial para $G_o$ con condiciones iniciales $(t=0,G_o=G_{o,V_1})$. La solución es:

$\frac {G_o(t)}{G_{max}} = \frac {G_{o,V_1}}{G_{max}} \cdot e^{-{(\alpha+\beta)t}} + \frac {G_{o,V_2}}{G_{max}} \cdot [1-e^{-{(\alpha+\beta)t}}]$

donde:

$\frac {G_{o,V_i}}{G_{max}} = \frac {\alpha(V_i)}{\alpha(V_i) + \beta(V_i)}$

La dificultad que veo es el carácter arbitrario de la 'tiempo' que considere suficiente para alcanzar el estado estacionario. Prefiero ajuste de los puntos de tiempo, es decir, el número de puertas abiertas vs tiempo. Y mi anterior sugerencia de utilizar numérico de ajuste todavía puede ser válido, en realidad.