$f(x)>0\implies\int_a^bf(x)\mathop{dx}>0$

Question

Supongamos $f$ es Riemann-integrable en $[a,b]$ tal que $f(x)>0, \forall x \in [a,b].$

Probar: $$\int_a^bf(x)\mathop{dx}>0$$

Siempre la solución:

Supongamos por contradicción que $I=\int_a^bf(x)\mathop{dx}=0.$

Tomemos una secuencia normal de particiones $T_n$ $[a,b],$ que es partitons de $n$ intervalos de longitud de $\frac{b-a}{n}.$

A continuación, para $n$ lo suficientemente grande, la parte superior de Darboux suma de $f$ es pequeña como se desee.

De modo que existe $n_0$ tal que para todos los $n>n_0:$

$$\tag{1}\sum_{i=0}^{n-1}\sup_{[x_i,x_{i+1}]}f\cdot\Delta x_i=\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\sup_{[x_i,x_{i+1}]}f<\frac{b-a}{2}$$

Por lo tanto, existe un intervalo de $I_1:=[x_i,x_{i+1}],$ tal forma que:

$$\tag{2}\sup_{[x_i,x_{i+1}]}f<\frac{1}{2}$$

Por la integral de la monotonía y la positividad de $f:$

$$\tag{3}0=\int_a^bf(x)\mathop{dx}\geq \int_{I_1}f(x)\mathop{dx} \geq 0$$

Por lo tanto, $\int_{I_1}f(x)\mathop{dx}=0.$

Repitiendo el proceso en $I_1,$ tomemos una secuencia normal de las particiones de $[x_i,x_{i+1},$, que es de los intervalos de $[y_i,y_{i+1}]$ de la longitud de la $\frac{x_{i+1}-x_i}{n}.$ por lo Tanto, no existe $n_1$ tal que para todos los $n>n_1:$

$$\tag{4}\sum_{i=0}^{n-1}\sup_{[y_i,y_{i+1}]}f\cdot\Delta x_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{n}\sum_{i=0}^{n-1}\sup_{[y_i,y_{i+1}]}f<\frac{x_{i+1}-x_i}{4}$$

De modo que existe un intervalo de $I_2:=[y_i,y_{i+1}] \subset I_1,$ tal forma que:

$$\tag{5} \sup_{I_2}f<\frac{1}{4}$$

De continuar así, obtenemos una secuencia de intervalos: $\ \dots \subseteq I_2 \subseteq I_1,$ tal forma que:

$$\tag{6} \sup_{I_n}f \leq \frac{1}{2^n}$$

Por Cantor de la intersección teorema:

$$\tag{7} \bigcap_{n=0}^\infty I_n \neq \emptyset $$

Pero, si $x \in \bigcap_{n=0}^\infty I_n,$ $f(x) \leq \frac{1}{2^n},$ todos los $n$, por lo tanto $f(x)=0,$ contradiciendo $f(x)>0.$

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Mis preguntas:

$(a)$ $(1),$ Sé $\sum_{i=0}^{n-1} \Delta x_i = b-a,$, pero ¿por qué la igualdad de $\frac{b-a}{n}?$ Y por qué es la desigualdad verdadera?

$(a)$ $(3),$ ¿Cómo es la monotonía se utiliza?

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

$(i)$ La partición es normal (es decir, cada subintervalo es de igual longitud), de ahí$\Delta x_i = \frac{b-a}{n}$. Esto fue simplemente deducido de la suma en la etapa$(1)$.

$(ii)$ La monotonicidad se usa para mostrar que$\int_{[a,b]}f \geq \int_{I_1} f$. Esto se debe a que$\int_{[a,b] \setminus I_1} f \geq 0$ desde$ f \geq 0$.

Esta es una buena prueba, por cierto. Primero no lo he visto usando la caracterización de Lebesgue.

Answer 2

$\Delta x_i=\frac {b-a}n $ Porque ba se divide en n subintervalos iguales.

La integración es monotónica en el sentido de que$f \ge0 \implies \int_a^b f \ge \int_c^d f$ cuando$[c,d] \subset [a,b]$.