¿Si un $\sum\lambda_n$ de la serie de términos positivos es convergente, converger la secuencia $n\lambda_n$ $0$?

Question

Que $\lambda_n>0, n\in\mathbb{N}$, $\sum_n \lambda_n<+\infty$.

¿Puedo concluir que $n\lambda_n\to 0$?

Answer 1

Jajaja

Definir $\lambda_n$ afirmando que $\lambda_{2^n}=2^{-n}$ y $\lambda_k=2^{-k}$para otros valores de % de $k$.

Entonces $2^n\lambda_{2^n}=1$ tan allí no es convergencia a $0$.

Es evidente sin embargo que $\sum_n\lambda_n<\infty$.

Answer 2

Considere la posibilidad de $$ \lambda_n=\left\{\begin{array}{} \frac1n&\text{if %#%#% for some %#%#%}\\ \frac1{n^2}&\text{if %#%#% for any %#%#%}\\ \end{array}\right. $$ Entonces, cuando $n=k^2$, $$ n\lambda_n=1 $$ sin embargo, $$ \sum_{n=1}^\infty\lambda_n=2\zeta(2)-\zeta(4) $$

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Sin embargo, si tenemos $k\in\mathbb{Z}$, luego $$ \lim_{n\to\infty}n\lambda_n=0 $$ Supongamos que no. A continuación, hay un $n\ne k^2$, de modo que para cualquier $k\in\mathbb{Z}$, hay un $n=k^2$, de modo que $\lambda_k\ge\lambda_{k+1}$. Entonces, a causa de la monotonía, tenemos $$ \begin{align} \sum_{k=N/2}^{N}\lambda_k &\ge\sum_{k=N/2}^{N}\frac\epsilon{N}\\ &\ge\frac\epsilon2 \end{align} $$ y ya que podemos elegir $\epsilon\gt0$ tan grande como queremos, hay una infinidad de conjunto de secuencias de términos cuya suma es, al menos,$n$. Es decir, podemos elegir $N\ge n$, de modo que $N\lambda_N\ge\epsilon$, por lo que los intervalos de $n$ son disjuntas y $\frac\epsilon2$. Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty\lambda_k=\infty $$ Nota: este último argumento es similar a esta respuesta.