En corto, tengo que resolver un cierto de primer orden de la PDE. He aplicado el método de las características para encontrar la curva integral y encontré una respuesta que, de hecho, satisface la ecuación. Sin embargo, Wolfram Mathematica da una solución diferente. Comentarios sobre mi solución y posibles causas de las discrepancias sería el más apreciado. He de comentar que me siga Folland Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Parciales en la nomenclatura y notaciones.
Problema:
Dado un conjunto abierto $\Omega \subset \mathbb{R}^2$$\phi(x) \in C^1(\Omega)$, resuelve:
$\partial_tu + x\partial_xu = t^3 \\ u(x, 0) = \phi(x)$
Mi solución:
Ya tenemos un lineal de primer orden del problema, el método de las características es la alternativa natural. En primer lugar, hemos de señalar que la hipersurface $S$ en el que las condiciones iniciales están dadas es $S = \{(x,y) \in \mathbb{R}; y = 0 \}$, y que la variedad característica es ${\rm char} = \{ (\xi_x, \xi_t) \in \mathbb{R}^2 \setminus \{0\}; \xi_t = -x\xi_x \}$, de modo que el vector unitario normal a $S$, es decir,$(0, 1)$, no es en $\rm char$, y por lo tanto se puede proceder a integrar el campo de vectores de los coeficientes para encontrar el (único) la solución del problema (de acuerdo con el teorema 1.7 en Folland del libro).
Los asociados del sistema de las Odas es la siguiente:
$\frac{dt}{d\alpha} = 1 \\ \frac{dx}{d\alpha} = x \\ \frac{du}{d\alpha} = t^3 \\ (x, t, u)|_{\alpha = 0} = (s,0,\phi(x)) $
ser $(s, 0)$ el punto inicial en $S$ $\alpha$ un parámetro.
La resolución de las Odas, obtenemos:
$t(\alpha) = \alpha \\ x(\alpha) = e^\alpha \\ u(\alpha) = \frac{\alpha^4}{4} + \phi(s) $
Por último, la eliminación de $\alpha$$s$, obtenemos:
$u(x, t) = \frac{t^4}{4} + \phi(\frac{x}{e^t})$
Tomamos nota de que la aplicación del operador $L = \partial_t + x\partial_x$ $u$ se encuentra por encima de, obtenemos $t^3$, como se esperaba. Sin embargo, Wolfram Mathematica proporciona la siguiente: Mathematica entradas y solución.
Gracias por su ayuda.
