Tiempos de parada de Collatz

Question

El máximo de los tiempos de parada para el Collatz $3x+1$ función ha sido calculada hasta alrededor de $x = 10^{18}$, dada en $3x+1$ retraso registros. Punteo de los resultados da esto:

Una presentación más interesante se da en un semi-diagrama del registro:

Se puede observar que el tiempo de paro tiende a una línea de $x$ aumenta, y se limita a relativamente estrechos límites. En todo caso, parece ser que tiende a ligeramente más estrechos límites, ya que $x$ aumenta. El uso de un mejor ajuste de la parte superior de la curva de da a esta ecuación:

$S=147.8\log_{10}x-366.9$

donde $S$ es el máximo de tiempo de parada.

Mi pregunta es, hay una (tal vez de estadística) argumento de por qué el máximo tiempo de parada tienden a seguir esta línea?

La cuestión es ¿cuál es la probabilidad de que la relación podría mantener a altas potencias de 10. Por ejemplo, $x_0=10^{200}$ da una máxima prevista para tiempo de parada para $x<x_0$ sobre 29,194.

Answer 1

Realmente no puedo explicar con exactitud, pero me puede dar una heurística para ver que esto es básicamente el más simple de escala que tiene sentido.

Supongamos $x$ es un número cuyo Collatz iteración alcanza el conocido ciclo de $4 \to 2 \to 1 \to 4 \to \dots$, Entonces hay un número $S_x$, el número de iteración antes de llegar a $1$, y un número $p_x$, que es la fracción de su recorre en que son incluso (de nuevo contando sólo hasta la primera vez que la secuencia llega a 1). Por ejemplo, $S_5=5,p_5=4/5$. Aún Collatz iterar da una división por 2 y una extraña Collatz recorrer en aproximadamente da una multiplicación por 3, por lo que la secuencia de Collatz debe ser sólo un poco más grande que la de $x_n=x 2^{-np_x} 3^{n(1-p_x)}=x 3^n 6^{-np_x}=x (3 \cdot 6^{-p_x})^n$ (más grande porque se me ha caído el $+1$s). Si $p_x>\log(3)/\log(6)$ entre $0.61$$0.62$, entonces esto va exponencialmente a cero.

La declaración de $S_x \sim k \log(x)$ por una constante $k$ que equivale a decir que $p_x$ es asintóticamente independiente de $x$. Si esto se mantiene, a continuación, $S$ tiene el mismo asintótica. De curso $p_x$ es en realidad bastante errático función de $x$ en la realidad, pero esta es la idea principal. Más probable es que esta heurística como se dijo es falso, pero cabría la esperanza de que algo similar (por ejemplo, una relación que involucra estadísticas agregadas como su $S$) puede contener.