Demostrar que si $B^2 x = 0_n$ $x \neq 0_n$ vector, entonces $B$ no es invertible

Question

Si $B \in M_{n \times n}(\mathbb{R})$ y $B^2 x = 0_n$ para algunos vectores $x \neq 0_n$ y $B$ no es inversible.

Conseguir que $$\mbox{rank} ( B^2 ) < n$$ but I can't seem to be able to link it to $B $ . Perhaps I need to use diagonalization to deal with the power, but that only works if $B$ es diagonalizable. Se agradecería cualquier insinuación.

Answer 1

Una transformación lineal en el espacio dimensional finito es inyectiva iff su núcleo es trivial. Así que tenemos que encontrar un elemento no trivial en el núcleo.

Si $B^2 x = 0$, entonces el $B(Bx) = 0$, que $Bx \in \ker B$.

Supongamos que $Bx = 0$, entonces esto muestra que el $B$ tiene un núcleo no trivial, por lo tanto no es inyectiva.

Supongamos que %#% anterior, $Bx \neq 0$ #% es un elemento no trivial de $Bx$, por lo que no es inyectiva.

Por lo tanto, de cualquier manera sigue que $\ker B$ no es inyectiva.

Answer 2

Si $B^2x=0$ $x$, entonces el $B^2$ % vector distinto de cero no es inversible, así $\det(B^2)=0$.

Pero $\det(B^2)=\det(B)^2$, tan $\det(B)=0$y $B$ no es inversible.

Answer 3

Otra manera de mirar esto es contrapositive: Supongo que $B$ es invertible. Entonces es inversible, $B^2$ % que $B^2 x = 0$solamente para $x=0$.