¿Si $\mu$ es una medida de probabilidad en $\mathbb R$, es $t\mapsto\mu\{t\}$ diferenciable casi por todas partes?

Question

En esta pregunta, el OP en un momento dice que desde $t\mapsto P[X=t]$ es cero en casi todas partes, es casi en todas partes diferenciables. He señalado que esto no será el caso - $\mathbf1_{\mathbb Q}$ es el ejemplo habitual de una función que es cero en casi todas partes, pero continua, en ninguna parte, pero me di cuenta de que la situación es un poco más sutil en este caso.

Si $\mu$ es una medida de probabilidad en $\mathbb R$, a continuación, para cada $\varepsilon>0$, $\mu\{t\}\ge\varepsilon$ por, al menos, un número finito de $t$. En particular, $\lim_{s\to t}\mu\{s\}=0$ todos los $t\in\mathbb R$, lo $t\mapsto\mu\{t\}$ es continua en cada punto de continuidad de $\mu$. (Recordemos que el punto de la continuidad se refiere a la función $t\mapsto\mu((-\infty,t])$, por lo que esta declaración no es tan absurdo como parece.) Ya no puede haber más de countably muchos átomos, esto demuestra que al menos nos hacen tener una.e. continuidad.

¿Qué acerca de la diferenciabilidad? Este es un messier pregunta. Obviamente, la función no es diferenciable en cualquier átomo. Si la derivada existe en $t_0$, entonces debe ser igual a cero. Por tanto, tenemos que la diferenciabilidad en $t_0$ es equivalente a

$$\mu\{t_0+h\}=o(h)\qquad\text{as }h\to0.\qquad\qquad(\dagger)$$

Qué $(\dagger)$ ocurre para casi todas las $t_0$? No sé. También no sé cómo probaría si lo sabían, tampoco. Yo tenía una idea para una prueba de la declaración afirmativa, tratando de demostrar que el conjunto de $t$ donde $\mu\{t\}=0$ pero $(\dagger)$ falla es en la mayoría de los contables, pero no filtra hacia fuera. Un contraejemplo sería, sin duda, complicado y difícil de visualizar, sería necesario tener una contables conjunto de átomos cuyo cierre había vacío interior en un mínimo.

Si la respuesta vuelve a ser negativa, ¿cómo se portó mal puede la función de ser? Puede que el conjunto de $\{t:s\mapsto\mu\{s\}\text{ is differentiable at }t\}$ cero medir?

Answer 1

Deje $f(t) = \mu \{ t \}$.

Supongamos $\mu \{ x \} = 0$ $f'(x) \neq 0$ (nos referimos a $f'(x)$ podría no existir). Entonces no es $\varepsilon > 0$ tal que arbitrariamente cerca de $x$ existe $y$$\mu \{ y \} \geqslant \varepsilon |y-x|$.

Hay en la mayoría de los countably muchos $y$ $\mu \{ y \} > 0$ - si hay un número finito, de curso $f$ es una.e. diferenciable, de lo contrario organizar todos esos $y$ en una secuencia $y_m$. A continuación, $$\sum_{m=1}^{\infty} \mu \{ y_m \} = \mu( \{ y_m : m \geqslant 1 \} ) \leqslant 1.$ $

Ahora, para $\varepsilon > 0$ deje $I_m^{\varepsilon} = \{ x \in \mathbb{R} : \mu \{ y_m \} \geqslant \varepsilon |y_m-x| \}$ $I_m^{\varepsilon}$ es un intervalo de radio $\frac{\mu \{ y_m \}}{\varepsilon}$ centrada en $y_m$. Por el comentario en el principio

$$\{ x \in \mathbb{R} : \mu \{ x \} = 0 \ \& \ f'(x) \neq 0 \} \subseteq \bigcup_{\varepsilon > 0} \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} I_m^{\varepsilon}.$$

Ahora, por un fijo $\varepsilon > 0$ $n \geqslant 1$ hemos

$$\lambda \left( \bigcup_{m=n}^{\infty} I_m^{\varepsilon} \right) \leqslant \sum_{m=n}^{\infty} \lambda( I_m^{\varepsilon} ) = \frac{2}{\varepsilon} \sum_{m=n}^{\infty} \mu \{ y_m \}.$$

A medida que la serie $\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \mu \{ y_m \}$ converge, lo anterior tiende a $0$$n \to \infty$. Por lo tanto

$$\lambda \left( \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{m=n}^{\infty} I_m^{\varepsilon} \right) = 0$$

y desde la unión a lo largo de $\varepsilon > 0$ pueden ser hechos contables por tomar a través de una secuencia $\varepsilon_k = \frac{1}{k}$, obtenemos

$$\lambda \big( \{ x \in \mathbb{R} : \mu \{ x \} = 0 \ \& \ f'(x) \neq 0 \} \big) = 0.$$

Por último, si $\mu \{ x \} \neq 0$, $x = y_m$ algunos $m$, por lo que

$$\lambda \big( \{ x \in \mathbb{R} : \mu \{ x \} \neq 0 \} \big) = 0.$$

Por lo tanto

$$\lambda \big( \{ x \in \mathbb{R} : f'(x) \neq 0 \} \big) = 0,$$

es decir, $f'(x) = 0$ en casi todas partes.

Ejemplo

Recordar que la construcción del conjunto de Cantor:

$$\mathcal{C} = \bigcap_{n=1}^{\infty} C_n$$

donde cada una de las $C_n$ se compone de $2^n$ intervalos de longitud total $\left( \frac{2}{3} \right)^n$. Colocarlos todos en una secuencia $I_m$ y deje $y_m$ ser el medio de $I_m$. Tenga en cuenta que $y_m$ son parejas distintas.

Ahora definir una medida $\mu$$\mathbb{R}$$\frac{1}{2}|I_m|$$y_m$$0$$\mathbb{R} \setminus \{ y_m : m \geqslant 1 \}$. Tenga en cuenta que $\mu$ es una medida de probabilidad y cada una de las $I_m$ es exactamente $I_m^1$ a partir de la prueba anterior. Desde cada una de las $a \in \mathcal{C}$ pertenece a intervalos de $I_m^1$ arbitrariamente pequeña longitud, $f$ no es diferenciable en cualquier punto de $a \in \mathcal{C}$.

La construcción puede ser modificado ligeramente para reemplazar el conjunto de Cantor con una densa $G_{\delta}$.

Resumen

Para arbitrario probabilidad de medida $\mu$$\mathbb{R}$, el conjunto de puntos donde $t \mapsto \mu \{ t \}$ no es diferenciable:

• debe tener medida cero;

• puede contener el conjunto de Cantor;

• puede contener un denso $G_{\delta}$.

También, como el OP ha señalado, donde la derivada existe, debe ser cero.