Estos dominios se conocen como dominios de Prüfer. Son generalizaciones noetherianas de los dominios Dedekind. Su ubicuidad se debe a una notable confluencia de interesantes caracterizaciones. Por ejemplo, son aquellos dominios que satisfacen el Teorema del Resto Chino para ideales, o el Lemma de Gauss para ideales de contenido polinómico, o para ideales: $\rm\ A\cap (B + C) = A\cap B + A\cap C\:,\ $ o $\rm\ (A + B)\ (A \cap B) = A\ B\:,\ $ o $\rm\ A\supset B\ \Rightarrow\ A\:|\:B\ $ para fin. gen. $\rm\:A\:$ etc. Se calcula que se conocen cerca de 100 caracterizaciones de este tipo, por ejemplo, véase mi post de ciencia y matemáticas para 30 caracterizaciones de impar. A continuación, un extracto:
TEOREMA $\ \ $ Dejemos que $\rm\:D\:$ sea un dominio. Los siguientes son equivalentes:
(1) $\rm\:D\:$ es un dominio de Prüfer, es decir, todo ideal f.g. (finitamente generado) no nulo es invertible.
(2) Todo ideal no nulo de dos generaciones de $\rm\:D\:$ es invertible.
(3) $\rm\:D_P\:$ es un dominio de Prufer para cada ideal primo $\rm\:P\:$ de $\rm\:D.\:$
(4) $\rm\:D_P\:$ es un dominio de valoración para cada ideal primo $\rm\:P\:$ de $\rm\:D.\:$
(5) $\rm\:D_P\:$ es un dominio de valoración para cada ideal maximal $\rm\:P\:$ de $\rm\:D.\:$
(6) Todo ideal f.g. no nulo $\rm\:I\:$ de $\rm\:D\:$ es cancelable, es decir $\rm\:I\:J = I\:K\ \Rightarrow\ J = K\:$
(7) $\: $ (6) restringido a f.g. $\rm\:J,K.$
(8) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y existe un $\rm\:n > 1\:$ tal que para todo $\rm\: a,b \in D,\ (a,b)^n = (a^n,b^n).$
(9) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y existe un $\rm\: n > 1\:$ tal que para todo $\rm\:a,b \in D,\ a^{n-1} b \ \in\ (a^n, b^n).$
(10) Cada ideal $\rm\:I\:$ de $\rm\:D\:$ es completa, es decir $\rm\:I = \cap\ I\: V_j\:$ como $\rm\:V_j\:$ recorre todos los anillos de valoración de $\rm\:D.\:$
(11) Cada ideal f.g. de $\rm\:D\:$ es una intersección de ideales de valoración.
(12) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ entonces $\rm\:I \cap (J + K) = I\cap J + I\cap K.$
(13) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ entonces $\rm\:I\ (J \cap K) = I\:J\cap I\:K.$
(14) Si $\rm\:I,J\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ entonces $\rm\:(I + J)\ (I \cap J) = I\:J.\ $ ( $\rm LCM\times GCD$ ley)
(15) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D,\:$ con $\rm\:K\:$ f.g. entonces $\rm\:(I + J):K = I:K + J:K.$
(16) Para dos elementos cualesquiera $\rm\:a,b \in D,\ (a:b) + (b:a) = D.$
(17) Si $\rm\:I,J,K\:$ son ideales no nulos de $\rm\:D\:$ con $\rm\:I,J\:$ f.g. entonces $\rm\:K:(I \cap J) = K:I + K:J.$
(18) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y cada anillo de $\rm\:D\:$ es la intersección de las localizaciones de $\rm\:D.\:$
(19) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y cada anillo de $\rm\:D\:$ es la intersección de los anillos cocientes de $\rm\:D.\:$
(20) Cada sobreanillo de $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado.
(21) Cada sobreanillo de $\rm\:D\:$ es plana sobre $\rm\:D.\:$
(22) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y los ideales primos de los anillos de son extensiones de los ideales primos de $\rm\:D.$
(23) $\rm\:D\:$ es integralmente cerrado y para cada ideal primo $\rm\:P\:$ de $\rm\:D,\:$ y cada anillo superior $\rm\:S\:$ de $\rm\:D,\:$ hay a lo sumo un ideal primo de $\rm\:S\:$ que se encuentra encima de $\rm\:P.\:$
(24) Para los polinomios $\rm\:f,g \in D[x],\ c(fg) = c(f)\: c(g)\:$ donde para un polinomio $\rm\:h \in D[x],\ c(h)\:$ denota el ideal de "contenido" de $\rm\:D\:$ generado por los coeficientes de $\rm\:h.\:$ (Lemma de Gauss)
(25) Los ideales en $\rm\:D\:$ son integralmente cerrados.
(26) Si $\rm\:I,J\:$ son ideales con $\rm\:I\:$ f.g. entonces $\rm\: I\supset J\ \Rightarrow\ I|J.$ (contiene $\:\Rightarrow\:$ divide)
(27) el Teorema del Resto Chino $\rm(CRT)$ es cierto en $\rm\:D\:,\:$ es decir, un sistema de congruencias $\rm\:x\equiv x_j\ (mod\ I_j)\:$ es solucionable si $\rm\:x_j\equiv x_k\ (mod\ I_j + I_k).$
(28) Cada torsión libre finitamente generada $\rm\,D$ -módulo es proyectivo.
