¿La paradoja de Banach-Tarski es consistente con una masa invariante?

Question

Como físico, trato de imaginar que el "juego de manos" en el teorema consiste en dividir una bola con definibles por el volumen en bolas sin definibles por el volumen y, a continuación, poner de nuevo en una cosa con el doble del volumen. De alguna manera en el proceso de la información sobre el volumen original fue "perdido". No estoy hablando acerca de la entropía, sólo un laico de la descripción.

1) esta descripción exacta?

2) Si esto es exacto, puede que todavía consistentemente definen a la masa de manera que esta masa se conserva durante el proceso?(consulte a continuación para ver a lo que me refiero)

Imaginemos un clásico Newtoniano silencioso mundo en el que los cuerpos pueden ser continua. Suponga que hay una esfera que existe desde el principio del universo. Esta esfera está cargada con 5 diferentes tipos de cargos, y estos cargos se distribuyen de la misma manera que los puntos utilizados en el teorema. Cada uno de estos porosos subspheres también tienen masa. Esto nos da herramientas para dividir y reunir las esferas (digamos, por el cambio en una fuerza en una envoltura exterior que atrae o repeler la esfera de los rayos radialmente). Es matemáticamente consistente en un mundo en el que la Banach-Tarski teorema es verdadero, pero la masa se conserva?, de modo que cuando las esferas están dividir la masa también se divide (y está bien definido) y cuando las esferas están reunidos en una configuración diferente esta masa se conserva (si ahora tenemos dos esferas de la densidad sería la mitad de la original). Es decir, puedo consistentemente definen a la masa de forma independiente de volumen, de modo que incluso si no tenemos un volumen todavía se puede tener una masa?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario.

De Banach-Tarski teorema muestra que algunas de las condiciones impuestas en el volumen (o masa), no puede mantener simultáneamente. Creo que la respuesta a su Pregunta 2 depende de las propiedades de la masa debe tener. Qué se requiere que cada conjunto tiene una masa? Es la masa de traslación y rotación invariante? Es decir, es la masa $m(B)$ de una copia de $B$ de un conjunto $A$, que se desplaza y girar con respecto al conjunto de $A$ la misma masa de $m(A)$ del conjunto de $A$? Ignorando la masa invariancia simplemente podemos definir a través de la función delta, la elección de un punto de $x_0$ y ajuste de $m(A)=1$ si $A$ contiene $x_0$$m(A)=0$, de lo contrario.

Que la suma de las propiedades debería tener una masa? Me refiero a la siguiente. Si $A$ es una unión de un discontinuo de la familia $\{A_i: i\in I\}$ $A$ tienen masa y $m(A)=\sum \{m(A_i): i\in I\}$. Generalmente se requiere que esta propiedad se lleva a cabo para cada finito $I$ (aditividad) de cada contables $I$ ($\sigma$-aditividad). He de comentar que desde que el grupo se $\Bbb R^3$ es abelian, es llamado susceptibles y se admite finitely aditivo (pero no necesariamente $\sigma$-aditivo) traducción invariante (pero no necesariamente de rotación invariante) no trivial de la masa (que es$m(\Bbb R^3)=1$), que se define en cada subconjunto $A$$\Bbb R^3$.

Una demanda que la masa de la suma depara innumerables cardinalidad del conjunto de $I$ puede conducir a la siguiente paradoja. Deje $A$ ser una multitud innumerable. Si una cantidad no numerable de puntos de $A$ ha positiva de masa, cómo nos la suma de estos valores para obtener la masa de $A$? Por el contrario, si cada punto de $A$ tiene una masa de $0$, entonces ¿cómo puede la masa de $A$ ser distinto de cero? Incluso la masa $\sigma$-aditividad con su traducción de la invariancia puede llevar a contradicciones, de manera similar a la utilizada en la construcción de un no-medibles Vitali conjunto.

El por encima de las paradojas pueden llevar a la conclusión de que la masa es una propiedad no de cada conjunto y no está concentrado en puntos, de manera similar a otras nociones. Recuerdo Zeno "flecha" aporía en movimiento. Cuando un vuelo de la flecha se mueve si en cada momento tiene una posición fija? También cómo el tiempo puede tener una duración que se compone de momentos, ninguno de los cuales tiene una duración?