Si $V$ es un espacio vectorial sobre $k$ es cada $k[x]$ -estructura de módulo en $V$ inducido por alguna transformación lineal?

Question

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial sobre un campo $k$ . Fijación de una transformación lineal $T$ es común hacer $V$ a $k[x]$ -definiendo $f(x)\cdot v=f(T)(v)$ .

¿Es todo lo posible $k[x]$ -estructura de módulo sobre $V$ necesariamente inducido por algún $T\in L(V)$ ?

Si $V$ es algo $k[x]$ -podemos definir un mapa $T$ en $V$ por $T(v)=x\cdot v$ . Entonces $T$ es aditivo. Pero para los escalares, $$T(cv)=x\cdot(cv)=(xc)\cdot v=(cx)\cdot v=c\cdot(x\cdot v)=c\cdot T(v)$$ pero no creo que podamos asumir que la multiplicación por escalares en $k$ en $V$ como $k$ -es lo mismo que la multiplicación por escalares en $k$ al ver $V$ como $k[x]$ -módulo.

Answer 1

Si $R$ es un anillo (conmutativo o no), entonces la categoría de $R[x]$ -es equivalente a la categoría de pares $(M,f)$ , donde $M$ es un $R$ -módulo y $f : M \to M$ es un endomorfismo. Esto es una consecuencia de la propiedad universal del álgebra polinómica, no es necesario hacer cálculos. En particular, $R[x]$ -módulos que extienden un determinado $R$ -corresponden a endomorfismos de este $R$ -módulo.

Cuando $M$ es un derecho $R$ -entonces un módulo de la izquierda $R[x]$ -en el grupo abeliano subyacente (olvidando así la estructura de módulo) corresponde a una $R$ -estructura de módulo en $M$ y un endomorfismo de esta estructura modular. Una gran clase de ejemplos (pero no todos) viene dada por $(R,R)$ -bimódulos junto con un endomorfismo. Por supuesto, las dos acciones de $R$ no tienen que coincidir aquí. La respuesta de Hagen se refiere a la $(\mathbb{C},\mathbb{C})$ -bimódulo $\mathbb{C}$ donde a la derecha la acción viene dada por la conjugación compleja.