Comprensión de un ejemplo de un Groupoid de la mentira

Question

Para la definición de la Mentira groupoid ver https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_groupoid .

En esta pregunta quiero entender el Ejemplo 1.1.17 en "teoría General de la Mentira groupoid y la Mentira algebroids" por Kirill C. H. Mackenzie (página 10).

Deje $G$ ser una Mentira de un grupo con la Mentira de álgebra $\mathfrak{g}$. Quiero ver cómo $T^* G$ (la cotangente del paquete) es un groupoid con base $\mathfrak{g}^*$ (el doble de álgebra de la Mentira? que es el doble de $\mathfrak{g}$ como un espacio vectorial dotado de Mentira brackets?) Deje $L_g : h \mapsto gh$ $R_g : h \mapsto hg$ ser de izquierda y derecha traducciones en $G$.

Consideramos $\theta \in T_g^\ast G$. Este es un funcional lineal en $T_g G$ el espacio de la tangente de $G$ en el punto $g$. $T_g G$ es isomorfo a $T_e G = \mathfrak{g}$.

Recordar el por cada flecha $f : x \to y$ hemos de origen y de destino de los mapas: $\alpha(f)=s(f)=x$$\beta(f)=t(f)=y$. En el ejemplo, el libro define de la siguiente manera $$ \alpha(\theta) = \theta \circ T(L_g) , \quad \beta(\theta) = \theta \circ T(R_g) \ . $$ I assume in $T(L_g)$ he means the differential map induced by $L_g$, que es $$ T(L_g)(x) = g + x \ . $$ No entiendo el razonamiento detrás de la $\alpha$ $\beta$ se define y cómo se devuelve un objeto en $\mathfrak{g}^*$. Lo que está sucediendo allí?

Finalmente, el libro define la multiplicación de $\theta \in T_g^* G$ $\varphi \in T_h^*G$ (no hay supuestos en $g$$h$) como $$ \varphi \bullet \theta = \varphi \circ T(R_{g^{-1}}) = \theta \circ T(L_{h^{-1}}) \ .$$ No veo cómo este producto es válido para la multiplicación. Los libros, a continuación, afirman que con estas definiciones $T^* G \rightrightarrows \mathfrak{g}^*$ es una Mentira groupoid. No entiendo cómo. En primer lugar, debemos de demostrar que es un groupoid, luego de que los mapas son lisas, etc.

Answer 1

En primer lugar, un descargo de responsabilidad - lo sé casi nada sobre la Mentira Groupoids. Sólo estoy siguiendo mi nariz y la verificación de cada uno de los axiomas.

En este post, sólo queremos mostrar que $T^\ast G \rightrightarrows \mathfrak{g}^\ast$ es un groupoid. Más adelante, en otro post, voy a preocuparse de la muestra es en realidad una Mentira groupoid.

En primer lugar, los objetos de nuestra categoría son elementos de $\mathfrak{g}^\ast$, es decir, son funcionales lineales de$\mathfrak{g}$$\mathbb{R}$. (Estos sólo dependen de la estructura lineal de la $\mathfrak{g}$, no en el álgebra de la estructura). También, para ser claros, yo voy a ser la identificación de $\mathfrak{g}$ $T_e G$ donde $e\in G$ es la identidad. Los morfismos son, por definición, los elementos de la cotangente del paquete de $G$. Es decir, cada uno de morfismos es nada pero un funcional lineal de$T_g G$$\mathbb{R}$.

Ahora, vamos a $\theta:T_g G \rightarrow \mathbb{R}$ ser cualquier funcionales. ¿Qué es $s(\theta)$, la fuente de la $\theta$? Por definición, este debe ser un elemento de $\mathfrak{g}^\ast$. Es decir, se debe asignar un elemento de $\mathfrak{g}$$\mathbb{R}$. El autor te dice exactamente cómo hacerlo. Si $v\in\mathfrak{g}$, luego $$s(\theta)(v) = \theta(d_e L_g (v)). $$ (Be careful, in general, $d_e L_g(v) \neq g+ v$ - a menudo el lado derecho no tiene sentido!)

Aviso de que esto está bien definido: en Primer lugar, ya que tanto $d_e L_g$ $\theta$ son lineales mapas, la composición es lineal, por lo $s(\theta)$ es lineal. Segundo, el mapa de $d_e L_g :\mathfrak{g}\cong T_e G \rightarrow T_g G$, por lo que la imagen de $d_e L_g$ se encuentra en el dominio de $\theta$, por lo que podemos componer. Por último, el dominio de $d_e L_g$ $T_e G\cong \mathfrak{g}$ y el rango de $\theta$$\mathbb{R}$, por lo general, $\theta \circ d_e L_g$ es realmente un elemento de $\mathfrak{g}^\ast$.

¿Qué es $t(\theta)$, el objetivo de $\theta$? De nuevo, esto debe ser algo lineal que acepta en elementos de $\mathfrak{g}$ y escupe los números reales. Una vez más, el autor ya nos ha dado la fórmula: $$t(\theta)(v) = \theta(d_e R_g(v)).$$ como en el párrafo anterior, uno puede comprobar que esto realmente está bien definido.

Ahora, supongamos $\theta \in T^\ast_g G$ $\varphi\in T^\ast_h G$ son dos morfismos y además, supongamos que el $t(\theta) = s(\varphi)$. En otras palabras, que $$\theta \circ d_e R_g = \varphi \circ d_e L_h.$$ Using the fact that, for any $k\in G$, $d_k R_g$ and $d_k L_h$ are isomorphisms with inverses $d_{kg} R_{g^{-1}}$ and $d_{hk} L_{h^{-1}}$, respectivamente, y utilizando el hecho de que la izquierda y la derecha de la multiplicación de conmutar (y por lo tanto, también lo hacen sus diferenciales), obtenemos la siguiente cadena de igualdades: \begin{align} \theta \circ d_e R_g &= \varphi\circ d_e L_h\\ \theta \circ d_e R_g \circ (d_e L_h)^{-1} &= \varphi \\ \theta \circ d_e R_g \circ d_h L_{h^{-1}} &= \varphi \\ \theta \circ d_h(R_g \circ L_{h^{-1}}) &= \varphi \\ \theta \circ d_h(L_h^{-1}\circ R_g) &= \varphi \\ \theta \circ d_{hg} L_{h^{-1}} \circ d_h R_g &= \varphi \\ \theta \circ d_{hg}L_{h^{-1}} &= \varphi \circ (d_h R_g)^{-1} \\ \theta \circ d_{hg}L_{h^{-1}} &= \varphi \circ d_{hg} R_{g^{-1}}\end{align}

La composición de los elementos de $T^\ast G$ debe ser otro elemento de $T^\ast G$ y el autor dice que $\theta \bullet \varphi = \theta \circ d_{hg}L_{h^{-1}}$ (que sólo pasa a ser igual a $\varphi \circ d_{hg}R_{g^{-1}}$.) Aviso que esto es sólo otro elemento de $T^\ast G$. Más específicamente, $\theta \bullet \varphi \in T^\ast_{hg} G$.

Ahora que la composición está definida, tenemos que verificar varias cosas - que la operación es asociativa, que cada punto tiene un correspondan identidad de morfismos, y que todos los morfismos es invertible.

La asociatividad. Dado $\theta,\varphi,$ $\eta$ con basepoints $g,h,$ $k$ respectivamente, tenemos \begin{align} \theta \bullet (\varphi \bullet \eta) &= \theta \bullet (\varphi \circ d_{kh} L_{k^{-1}}) \\ &= \theta \circ d_{khg}L_{(kh)^{-1}} \\ &= \theta \circ d_{khg}(L_{h^{-1}} L_{k^{-1}}) \\ &= \theta \circ d_{hg}L_{h^{-1}}\circ d_{khg} L_{k^{-1}}\\ &= (\theta \circ d_{hg}L_{h^{-1}})\bullet \eta \\ &= (\theta \bullet \varphi) \bullet \eta \end{align}

De la identidad. Dado $f\in \mathfrak{g}^\ast$, buscamos un elemento $\theta \in T^\ast G$ a actuar como la identidad de morfismos en $f$, lo $s(\theta) = t(\theta) = f$. Así, podemos pensar de $\mathfrak{g}^\ast$$T_e^\ast G$, por lo que esto le da un natural de adivinar para $\theta$: pick $\theta = f\in T_e^\ast G$. A continuación,$s(\theta) = \theta \circ d_e L_e = \theta = f$, y, asimismo, para $t(\theta)$. También tenemos $\theta \bullet \varphi = \varphi \circ d_h R_{e^{-1}} = \varphi$, y, asimismo, para las composiciones en el otro lado.

La recíproca. Dado un morfismos $\theta\in T_g^\ast G$ queremos encontrar una función inversa. Yo reclamo que $\varphi\in T_{g^{-1}}^\ast G$ $\varphi = \theta \circ d_{g^{-1}} L_{g^2}$ hace el truco. En primer lugar, tenga en cuenta que $\theta \bullet \varphi = \theta \circ d_e L_g$ es lineal en el mapa de$\mathfrak{g}^\ast$$\mathbb{R}$, es decir, es la identidad en el punto de $\theta\circ d_e L_g \in \mathfrak{g}^\ast = s(\varphi)$. Asimismo, la composición en otro orden funciona igual de bien.

Todo esto sólo se verifica en realidad tenemos un groupoid.

Answer 2

En este post, nos preocuparemos de la suavidad de todo. Mi post original ya que lo que he descrito es en realidad un groupoid, así que este es el único paso restante en mostrar que es una Mentira groupoid. Me siento mucho más cómodo con los colectores de las categorías, así que este post va a ser mucho menos de cómputo involucrados, porque yo grok la gran imagen mucho mejor aquí.

Para empezar, voy a utilizar el estándar de hecho:

Proposición: Los siguientes dos mapas de $L,R:T^\ast G\rightarrow G\times \mathfrak{g}^\ast$ vector paquete isomorphisms. Con $\theta \in T_g^\ast G$, tenemos $$L(\theta) = (g, L_g^\ast \theta)$$ and $$R(\theta) = (g, R_g^\ast \theta).$$

Vamos a dejar que $\pi:G\times\mathfrak{g}^\ast\rightarrow \mathfrak{g}^\ast$ denotar la otra proyección.

Con esto, podemos demostrar que el origen y el destino de los mapas, $s,t:T^\ast G\rightarrow \mathfrak{g}^\ast$ son suaves inundaciones. Para empezar, tenemos

La proposición: Tenemos $s = \pi \circ L$$t = \pi \circ R$.

Prueba: sólo vamos a demostrar la afirmación sobre el mapa de origen. Para$\theta \in T^\ast_g G$,\begin{align} \pi(L(\theta)) &= \pi(g, L^\ast_g \theta) \\ &= L^\ast_g \theta\\ &= \theta \circ d_e L_g \\ &= s(\theta) \end {align}

Ahora, desde la $L$ es un paquete de isomorfismo, es, en concreto, un diffeomorphism. Por lo tanto, $\pi$ $s$ tienen el mismo analyitical propiedades. Pero $\pi$ es, obviamente, un suave inmersión, por lo que esta prueba $s$ es. Un análogo argumento muestra $t$ es.

Ahora nos sostienen el mapa de identidad $id:\mathfrak{g}^\ast \rightarrow T^\ast G$ es suave. Recordemos que para $f\in \mathfrak{g}^\ast$, $\operatorname{id}(f) = f\in T_e^\ast G \subseteq T^\ast G$. Deje $i$ denotar la inclusión de $\mathfrak{g}^\ast= T^\ast_g G$ a $T^\ast G$. Luego tenemos a $\operatorname{id} = L^{-1}\circ i = R^{-1}\circ i$, lo $\operatorname{id}$ es una composición de suave funciones por lo que es suave.

Finalmente, sostenemos que la composición es suave. Tenga en cuenta que $\operatorname{comp}$ es sólo una función parcial de $T^\ast G\times T^\ast G\rightarrow T^\ast G$, pero vamos a ampliar total de la función de la siguiente manera: Para$\theta \in T^\ast_g G$$\varphi\in T^\ast_h G$, podemos definir $$\operatorname{comp}(\theta, \varphi) = \theta \circ d_{hg}L_{h^{-1}} = L_{h^{-1}}^\ast \theta.$$ (This may or may not equal $\varphi \circ d_{hg}R_{g^{-1}}$, depending on whether $t(\varphi)= s(\theta)$ o no). Vamos a mostrar que este total, la función es suave, por lo tanto, que la función parcial es así.

Considerando $L\circ \operatorname{comp} \circ L^{-1}$, obtenemos un mapa $$(G\times \mathfrak{g}^\ast) \times (G\times \mathfrak{g}^\ast) \rightarrow G\times \mathfrak{g}^\ast$$ which, chasing through all the definitions, maps $\grande (g, \theta), (h,\varphi)\big)$ to $(hg, \theta)$. Since group multiplication is smooth, $L\circ \operatorname{comp}\circ L^{-1}$ is smooth, and thus, so is $\operatorname{comp}$.

Ya que todos los mapas son suaves y el origen y destino de mapas de inundaciones, este (junto con mi post anterior) muestra que $T^\ast G\rightrightarrows \mathfrak{g}^\ast$ realmente es una Mentira groupoid.