Retorno de la inversión (ROI)

Question

Antes de venir a la pregunta, voy a explicar rápidamente cómo calcular el VAN (valor actual Neto) con un ejemplo

La Información Disponible

• Equipo De Costos - \$20,000
• Beneficio Anual - \$6,000
• Valor De Desecho - \$2,000
• Años de Servicio ($n$) - 4 Años
• Tasa De Inflación/Tasa De Interés ($r$) - 7%

¿Cuál es el VPN

Valor Presente neto es la cantidad de dinero que vamos a tener a partir de la inversión en un producto en particular durante el curso de su servicio. Calculamos primero el Valor Presente (PV) por

$$\textrm{PV} = \sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{\textrm{Annual Benefit}}{(1+r)^k}\right)\quad + \quad \frac{\textrm{Annual Benefit}+\textrm{Scrap Value}}{(1+r)^n}$$

es decir, el valor presente de cada beneficio anual durante la vida, más el valor presente del último año de beneficios.

Para Final de Año, tenemos que añadir el valor de desecho para beneficio anual así.

Para este caso los valores que obtenemos son

• Y1 = \$5,607
• Y2 = \$5,240
• Y3 = \$4,897
• Y4 = \$6,103

Agregar todos juntos conseguimos \$21,849. So at the end of 4 years we made \$21,849 en una inversión de \$20000 en términos de dinero de hoy.

$$\textrm{NPV} = 21,849 - 20,000 = \textbf{\$1,849}$$

ROI

Ahora retorno de la inversión es el valor de r (Tasa de Interés) en la que VAN, viene a ser 0. En un cierto valor de r (para este caso es del 11%), cuando se ejecuta la fórmula 4 veces (durante cuatro años), los cuatro valores de añadir hasta 20.000 (la inversión inicial)

Se puede calcular con una fórmula?

PS - Puede alguien sugerir mejores etiquetas?

Answer 1

Un tl;dr versión de su pregunta:

Dadas las constantes de $n, s, a, c$, podemos encontrar una forma cerrada de expresión para $r$ que resuelve la ecuación:

$$ \sum_{i=1}^{n}\left ( \frac{a}{(1+r)^i}\right ) + \frac{s}{(1+r)^n} = c $$

Déjenos simplifican. Deje $t = \frac{1}{1 + r}$. Así tenemos:

$$ \begin{align} a\sum_{i=1}^{n}t^i + st^n &= c \\ at\frac{\ 1-t^n}{1-t} + st^n &= c \\ at-at^{n+1} + st^n - st^{n+1} &= c - ct \\ at-(a+s)t^{n+1} + st^n &= c - ct \\ (a+s)t^{n+1} - st^n - (a+c)t + c &= 0 \\ \end{align} $$

Puesto que usted quiere resolver para $t$, que son esencialmente de la izquierda con la necesidad de resolver un polinomio de grado $n+1$. Por desgracia, si $n \geq 4$, que son una mierda de suerte en la búsqueda de una forma cerrada (gracias Galois) pero se puede usar un simple polinomio de solver para obtener rápidamente soluciones para $t$ e lo $r$.

Tratando de esto por su ejemplo en wolfram le da a la solución de $t = 0.90214$ da $x = \frac{1}{0.90214} - 1 = 0.10848$ e lo $x = 10.8$% resuelve el retorno de la inversión por ejemplo.

Ya que puede haber varias respuestas a polinomio, podemos poner límites en las respuestas válidas. Necesitamos $0 < r < 1$ y así:

$$ \begin{align} 0 &< r < 1 \\ 1 &< 1 + r < 2 \\ \frac{1}{2} &< \frac{1}{1+r} < 1 \\ \frac{1}{2} &< t < 1 \end{align} $$

Por lo que cualquier solución donde $\frac{1}{2} < t < 1$ debe ser válida.

Answer 2

El VPN es

$$\begin{array}{rl} \mbox{NPV} &= \displaystyle\left(\sum_{k=1}^n \frac{6000}{(1+r)^k}\right) + \frac{2000}{(1+r)^n} - 20000\\ &= \displaystyle\frac{6000}{r} \left(1 - \frac{1}{(1+r)^n}\right) + \frac{2000}{(1+r)^n} - 20000\\ &= \displaystyle\left(\frac{6000}{r} - 20000 \right) + \left( 2000 - \frac{6000}{r}\right) \frac{1}{(1+r)^n} \end{array}$$

Let $n=4$ and let us try to find for which $r$ the $\mbox{NPV}$ is zero. Using SymPy:

>>> r = Symbol('r', real=True, positive=True)
>>> NPV = (6000/r - 20000) + (2000 - 6000/r)*(1/(1+r)**4)
>>> NPV
       6000               
2000 - ----               
        r             6000
----------- - 20000 + ----
         4             r  
  (r + 1)                 
>>> solve(NPV)
                                                                                                                 ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                                                                                                  ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                                                                                                  ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                        ____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________                                                                                           
                                                                                                                /                                                                                                         ________________________                                                                                                                                                            /                                                                                                         ________________________                                                                                                                                                            /          ________________________                                                                                                                                                                 /          ________________________                                                                                                                                                                                                                                     
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                                                                                                             /    - -------------------------------------------------------------------------------------------- - 2*3 /   - ----- + ------------  + --- + ---------------------------------                                                                                                               /    - -------------------------------------------------------------------------------------------- - 2*3 /   - ----- + ------------  + --- + ---------------------------------                                                                                                               /    - 2*3 /   - ----- + ------------  + --- + --------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------                     /    - 2*3 /   - ----- + ------------  + --- + --------------------------------- + --------------------------------------------------------------------------------------------                                                                                            
                  _____________________________________________________________________________             /                      _____________________________________________________________________________     \/      16000      144000       200            ________________________                    _____________________________________________________________________________             /                      _____________________________________________________________________________     \/      16000      144000       200            ________________________                    _____________________________________________________________________________             /         \/      16000      144000       200            ________________________                  _____________________________________________________________________________                    /         \/      16000      144000       200            ________________________                  _____________________________________________________________________________              _____________________________________________________________________________ 
                 /                                                    ________________________             /                      /                                                    ________________________                                                    /             __________                    /                                                    ________________________             /                      /                                                    ________________________                                                    /             __________                    /                                                    ________________________             /                                                        /             __________                  /                                                    ________________________                    /                                                        /             __________                  /                                                    ________________________              /                                                    ________________________  
                /                                                    /             __________             /                      /                                                    /             __________                                                    /     259    \/ 60325113                    /                                                    /             __________             /                      /                                                    /             __________                                                    /     259    \/ 60325113                    /                                                    /             __________             /                                                        /     259    \/ 60325113                  /                                                    /             __________                    /                                                        /     259    \/ 60325113                  /                                                    /             __________              /                                                    /             __________   
               /                     83                   89        /     259    \/ 60325113             /                      /                     83                   89        /     259    \/ 60325113                                              300*3 /   - ----- + ------------                  /                     83                   89        /     259    \/ 60325113             /                      /                     83                   89        /     259    \/ 60325113                                              300*3 /   - ----- + ------------                  /                     83                   89        /     259    \/ 60325113             /                                                  300*3 /   - ----- + ------------                /                     83                   89        /     259    \/ 60325113                    /                                                  300*3 /   - ----- + ------------                /                     83                   89        /     259    \/ 60325113              /                     83                   89        /     259    \/ 60325113    
              /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------           /           4000*      /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------                                                 \/      16000      144000                    /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------           /           4000*      /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------                                                 \/      16000      144000                    /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------           /                                                       \/      16000      144000       4000*      /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------                  /                                                       \/      16000      144000       4000*      /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------            /    - --------------------------------- + --- + 2*3 /   - ----- + ------------   
             /                ________________________   400     \/      16000      144000             /                      /                ________________________   400     \/      16000      144000                                                                                                /                ________________________   400     \/      16000      144000             /                      /                ________________________   400     \/      16000      144000                                                                                                /                ________________________   400     \/      16000      144000             /                                                                                                  /                ________________________   400     \/      16000      144000                    /                                                                                                  /                ________________________   400     \/      16000      144000              /                ________________________   400     \/      16000      144000      
            /                /             __________                                                 /                      /                /             __________                                                                                                                                    /                /             __________                                                 /                      /                /             __________                                                                                                                                    /                /             __________                                                 /                                                                                                  /                /             __________                                                        /                                                                                                  /                /             __________                                                  /                /             __________                                           
           /                /     259    \/ 60325113                                                 /                      /                /     259    \/ 60325113                                                                                                                                    /                /     259    \/ 60325113                                                 /                      /                /     259    \/ 60325113                                                                                                                                    /                /     259    \/ 60325113                                                 /                                                                                                  /                /     259    \/ 60325113                                                        /                                                                                                  /                /     259    \/ 60325113                                                  /                /     259    \/ 60325113                                            
          /          300*3 /   - ----- + ------------                                               /                      /          300*3 /   - ----- + ------------                                                                                                                                  /          300*3 /   - ----- + ------------                                               /                      /          300*3 /   - ----- + ------------                                                                                                                                  /          300*3 /   - ----- + ------------                                               /                                                                                                  /          300*3 /   - ----- + ------------                                                      /                                                                                                  /          300*3 /   - ----- + ------------                                                /          300*3 /   - ----- + ------------                                           
   37   \/               \/      16000      144000                                                \/                     \/               \/      16000      144000                                                                                                                              37   \/               \/      16000      144000                                                \/                     \/               \/      16000      144000                                                                                                                              37   \/               \/      16000      144000                                                \/                                                                                                 \/               \/      16000      144000                                                  37   \/                                                                                                 \/               \/      16000      144000                                                 \/               \/      16000      144000                                              
[- -- - --------------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, - -- - --------------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, - -- + --------------------------------------------------------------------------------------- + -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, - -- - ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- + ---------------------------------------------------------------------------------------]
   40                                              2                                                                                                                                           2                                                                                                 40                                              2                                                                                                                                           2                                                                                                 40                                              2                                                                                                                                           2                                                                                                 40                                                                                                2                                                                                                                                           2                                            
>>> solutions = solve(NPV)
>>> solutionsinlatex = [latex(solutions[i]) for i in range(4)]

The first solution is

$$- \frac{37}{40} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{2787}{4000 \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}} + \frac{89}{200} + \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}}$$

The second solution is

$$- \frac{37}{40} - \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{2787}{4000 \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}} - 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}} + \frac{89}{200} + \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}}$$

The third solution is

$$- \frac{37}{40} + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}} + \frac{89}{200} + \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{2787}{4000 \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}}}$$

The fourth solution is

$$- \frac{37}{40} - \frac{1}{2} \sqrt{- 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}} + \frac{89}{200} + \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{2787}{4000 \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}}} + \frac{1}{2} \sqrt{- \frac{83}{300 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}} + \frac{89}{400} + 2 \sqrt[3]{- \frac{259}{16000} + \frac{\sqrt{60325113}}{144000}}}$$

Of these $4$ solutions, one is positive, one is negative, and two form a complex conjugate pair. The positive solution can be found numerically:

>>> nsolve(NPV,r,0.07)
0.108478871693288

Hence, $r \approx 11\ % $.