Existencia de un mapa $f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q}$

Question

La cuestión es comprobar qué opción es verdadera:

Existe un mapa $f: \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q}$ tal que

• es biyectiva y creciente
• es onto y decreciente
• es biyectiva y satisface $f(n)\geq 0$ si $n\leq 0$
• tiene una imagen incontable.

En primer lugar, cualquier subconjunto de $\mathbb{Q}$ es contable por lo que no tiene sentido buscar la última opción.

Ahora, como ambos $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ son contables, podría haber una posible función biyectiva..

Ahora, el primer problema es que no he podido pensar en una biyección (estoy muy seguro de que esto existe) y el segundo problema es que incluso si encuentro alguna función será esa vieja primera o tercera posibilidad.

Por favor, no dé una respuesta, sino que dé alguna pista y dé un tiempo para pensar.

Gracias :)

Answer 1

1) Esto no puede existir, incluso si sólo suponemos que $f$ es onto y creciente. Entonces hay un $i$ con $f(i)<f(i+1)$ . Demuestre que no hay $n\in\mathbb{Z}$ que puede asignarse a $\frac{f(i)+f(i+1)}{2}$ .

2) $f$ sobre y decreciente es lo mismo que $-f$ en y creciente, por lo que por 1) esto no puede existir.

3) Esto existe. Encontrar la biyección $g$ de $\mathbb{N}$ a $\mathbb{Q}_{> 0}$ e intente utilizarlo en su construcción. Para los enteros negativos puedes definir $f(n)=g(-n)$ para que sea positivo $f(n)=-g(n)$ y $f(0)=0$ .