Quiero mostrar que no hay un grupo de orden $63$ que es simple y quisiera saber si mi simple razonamiento es correcto. Estoy irritado porque este es un ejercicio que se supone que es más difícil.
Así que tenemos $|G|=63=3^27$ . Por el segundo teorema de Sylow sabemos que el número de $7$ -Subgrupos bajos $m_7 | 9$ y $m_7 \equiv 1 \mod{7}$ . Así que sólo hay una $7$ -subgrupo Sylow. Este es un subgrupo normal porque los subgrupos Sylow son conjugados entre sí. Así que $G$ no es sencillo.
Utilizando el teorema de Burnside podemos demostrar que si $G$ no es un grupo abeliano y $|G|=p^aq^b$ donde $2\leq a+b$ y $p,q$ primos, por lo que el problema está hecho si $G$ no es abeliano, la prueba de Burnside no es fácil y se utiliza la teoría de representación de grupo finito, mira por ejemplo bejamin-steinber. Espero ser de ayuda :)
El teorema de Burnside es varios órdenes de magnitud más comolex que el resultado que quiere el OP...
@MarianoSuárez-Alvarez tienes el reasón, pero tal vez se pueda hacer bien si necesita el ejercicio para terminar un ejercicio mayor, ejejej lo dije porque eventualmente tengo este tipo de problemas, pero tienes la razón . Gracias
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
2 votos
A mí me parece bien.
3 votos
De acuerdo, a mí me parece bien. Sin embargo, ¡no tienes que sentirte irritado!